а) Доказать, что отличное от нуля целое число не может быть меньше в 2, 3, 6, 7 или 8 раз своего обращенного (т. е. числа, состоящего из тех же цифр, записанных в обратном порядке).
б)* Найти все целые числа, которые в 4 раза или в 9 раз меньше своего обращенного.
Подробнее
а) Найти шестизначное число, которое увеличивается в 6 раз, если три последние цифры числа, не меняя их порядка, переставить в начало числа.
б) Доказать, что не существует восьмизначного числа, увеличивающегося в 6 раз при перестановке четырех последних цифр на первые четыре места с сохранением их порядка.
Подробнее
Найти шестизначное число, произведения которого на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 записываются теми же цифрами, что и оно само, но в другом порядке.
Подробнее
Найти все трехзначные числа, равные среднему арифметическому всех чисел, - получающихся из заданного числа всевозможными перестановками его цифр (включая, разумеется, и «тождественную перестановку», оставляющую все цифры числа на месте).
Подробнее
Пусть $A$ - некоторое целое положительное число, $A^{ \prime}$ - число, составленное из тех же цифр, но переставленных в каком-то другом порядке. Доказать, что если $A + A^{ \prime} = 10^{10}$, то $A$ делится на 10.
Подробнее
Пусть $M$ - некоторое 17-значное число, $N$ - число, полученное «переворачиванием» $M$, т. е. записываемое теми же цифрами, следующими, однако, в обратном порядке. Доказать, что хотя бы одна цифра десятичной записи числа $M + N$ - четная.
Подробнее
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $n^3 - n$ делится на 3;
б) $n^5 - n$ делится на 5;
в) $n^7 - n$ делится на 7;
г) $n^11 - n$ делится на 11;
д) $n^13 - n$ делится на 13.
Подробнее
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $3^{6n} - 2^{6n}$ делится на 35 (здесь $n \geq 0$);
б) $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120;
в) $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121.
Подробнее
Доказать, что при всех целых $m$ и $n$
а)* $mn (m^{60} - n^{60})$ делится на 56786730;
б) $m^5 + 3m^4n - 5m^3n^2 - 15m^2n^3 + 4mn^4 + 12n^5$ не равно 33.
Подробнее
При каких целых положительных $n$ число $20^n + 16^n -3^n - 1$ делится на 323?
Подробнее
Существует ли такое натуральное число $n$, что $n^2 + n + 1$ делится на 1955?
Подробнее
Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?
Подробнее
Доказать, что если целое число $N$ взаимно просто с 10, то 101-я степень числа $N$ оканчивается теми, же тремя цифрами, что и $N$ (так, например, $1233^{101}$ оканчивается цифрами 233, а $37^{101}$ - цифрами 037).
Подробнее
Найти трехзначное число, всякая целая степень которого оканчивается тремя цифрами, составляющими первоначальное число.
Подробнее
Пусть $N$ - четное число, не делящееся на 10. Какова будет цифра десятков числа $N^{20}$? Какова будет цифра сотен числа $N^{200}$?
Подробнее