а) На спортивных соревнованиях выступают 20 спортсменов; судят соревнования 9 судей. Каждый судья расставляет в своем списке соревнующихся в порядке от 1-го до 20-го в соответствии с тем, как он расценил их выступления, причем впоследствии оказалось, что оценки всех судей разнятся не слишком значительно: ни один спортсмен не получил у двух судей места, отличающиеся более чем на три. В основу окончательного распределения мест положено «среднее место» спортсмена по оценкам 9 судей, т. е. сумма всех приписанных ему мест, деленная на число судей (на 9). Каково наибольшее возможное значение «среднего места» лучшего из 20 спортсменов?
б) Теннисная федерация присвоила квалификационные номера всем теннисистам страны: 1-й номер - сильнейшему из них, 2-й - следующему по силе, и т.д.; при этом известно, что в состязании теннисистов, номера которых в квалификационном списке разнятся более чем на две единицы, всегда побеждает теннисист с меньшим номером. 1024 теннисиста страны устраивают соревнования по олимпийской системе, т. е. так, что после каждого этапа соревнований все проигравшие выбывают из игры, а оставшиеся разбиваются на пары соперников в следующем туре случайным образам. Спрашивается, какой наибольший номер может иметь победитель таких соревнований?
Подробнее
Спартакиада продолжалась $n$ дней; на ней были разыграны $N$ комплектов медалей; при этом в 1-й День был вручен 1 комплект медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; во 2-й день - 2 комплекта медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; $\cdots$; в предпоследний, $(n-1)$-й день- $(n-1)$ комплект медалей и 1/7 часть всех оставшихся медалей; наконец, в последний день были вручены $n$ последних комплектов медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько комплектов медалей на ней разыгрывалось?
Подробнее
Пять приятелей, один из которых имел обезьяну, купили однажды мешок орехов, которые они предполагали утром следующего дня поделить между собой. Однако ночью один из приятелей проснулся и захотел орехов; он разделил все орехи в мешке на пять равных частей, причем у него остался один лишний орех, который он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Вслед за ним проснулся другой из хозяев орехов; не зная, что орехи уже кто-то брал, он разделил все оставшееся содержимое мешка снова на пять частей, причем оставшийся лишний орех отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Затем последовательно проделали ту же операцию оставшиеся трое приятелей; при этом каждый из них, не зная о поступке остальных, делил все орехи на пять частей, брал себе пятую часть и каждый раз оставался один лишний орех, который отдавали обезьяне. Наконец, утром все пятеро вместе достали мешок, разделили оставшиеся орехи на пять частей, а один орех, оказавшийся лишним, снова отдали обезьяне. Требуется определить наименьшее число орехов в мешке, при котором возможен подобный раздел их.
Подробнее
Два брата продали принадлежащее им обоим стадо овец, взяв за каждую овцу столько рублей, сколько было овец в стаде. Полученные деньги братья поделили следующим образам: сначала старший брат взял себе десять рублей из вырученной суммы, затем взял десять рублей второй брат, после этого первый брат взял еще десять рублей, и т. д. При этом младшему брату не хватило десяти рублей; поэтому он взял все оставшиеся после дележа мелкие деньги, а кроме того, чтобы дележ был справедливым, старший брат отдал младшему свой перочинный нож. Во что был оценен перочинный нож?
Подробнее
а) С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
б) На какой день недели чаще всего приходится 30-е число месяца?
Подробнее
Какие целые числа от зачеркивания последней цифры уменьшаются в целое число раз?
Подробнее
а) Найти все целые числа, начинающиеся с цифры 6 и от зачеркивания этой цифры уменьшающиеся в 25 раз.
б) Доказать, что не существует целых чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 35 раз.
Подробнее
Целое число уменьшается в 9 раз при зачеркивании некоторой его цифры; при этом полученное число тоже делится на 9.
а) Доказать, что для того, чтобы разделить полученное число на 9, тоже достаточно вычеркнуть в нем одну цифру.
б) Найти все целые числа, удовлетворяющие условию задачи.
Подробнее
а) Найти все числа, которые при зачеркивании третьей цифры уменьшаются в целое число раз.
б)* Найти все числа, которые при зачеркивании второй цифры уменьшаются в целое число раз.
Подробнее
а) Найти наименьшее целое число, начинающееся с цифры 1 и такое, что если переставить эту цифру в конец, то число увеличится втрое. Найти все такие числа.
б) Какими цифрами могут начинаться отличные от нуля целые числа, увеличивающиеся втрое от перестановки первой цифры в конец? Найти все такие числа.
Подробнее
Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 6, которое увеличивается в 4 раза при перенесении его последней цифры в начало числа.
Подробнее
Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 5 раз, в 6 раз или в 8 раз.
Подробнее
Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые увеличиваются вдвое от перестановки начальной цифры в конец.
Подробнее
а) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 7 или в 9 раз.
б) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые увеличиваются в 4 раза от перестановки начальной цифры в конец.
Подробнее
Найти наименьшее целое число, начинающееся цифрой 7 и уменьшающееся втрое от перестановки этой цифры в конец Найти все такие числа.
Подробнее