а) Каждый день футболист выбирает по клетке футбольного мяча, который сшит из 12 чёрных правильных пятиугольников и 20 белых правильных шестиугольников (рис.), и изменяет цвет всех её соседей. Он хочет добиться того, чтобы мяч стал полностью чёрным. Какое наименьшее число дней необходимо для этого? б) Может ли он действовать так, что мяч станет полностью белым?
Подробнее
При каких натуральных $n$ существует такой многочлен $P(x)$, что $P(P(x)) = x^n -1$?
Подробнее
Назовём грань описанного около шара многогранника большой, если она содержит ортогональную проекцию шара на плоскость этой грани. Докажите, что в любом многограннике больших граней не более шести.
Подробнее
В комнату с высотой потолка 2 м 10 см основанием вперёд вносят шкаф размером $0,7 \times 1,5 \times 2$ м. Удастся ли его поставить? (Основание шкафа - $0,7 \times 1,5$ м.)
Подробнее
Каждая грань выпуклого многогранника является либо правильным треугольником, либо правильным шестиугольником, причём тех и других поровну. Найдите все такие многогранники.
Подробнее
Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь куба с ребром длины 1.
Подробнее
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий; с другой стороны, из тех же 200 учеников в каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем среди отобранных 10 выбран самый низкий. Кто из двоих окажется выше (если это разные лица) -самый низкий из самых высоких учеников, или самый высокий из самых низких?
Подробнее
Каждый из людей, когда-либо живших на земле, обменялся с другими определенным числом рукопожатий. Доказать, что число людей, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, четно.
Подробнее
Доказать, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Подробнее
На заседании присутствуют несколько человек (разумеется, больше одного человека - иначе какое же это было бы «заседание»?).
а) Может ли быть, что никакие двое из присутствующих не имеют одинакового числа знакомых?
б) Доказать, что при любом числе участников заседания может случиться так, что никакие трое из присутствующих не имеют одинакового числа знакомых.
Подробнее
На некотором собрании присутствовало $2n$ человек, каждый из которых был знаком не менее чем с $n$ присутствующими. Доказать, что за круглый стол на 4 лица можно посадить четырех из присутствующих так, чтобы каждый сидел между своими знакомыми.
Подробнее
На конгресс приехало большое число ученых; одни из них были раньше знакомы друг с другом, другие - нет. При этом оказалось, что никакие два ученых, имеющих одно и то же число знакомых, не имеют общих знакомых. Доказать, что среди присутствующих на конгрессе ученых найдется ученый, знакомый ровно с одним участником конгресса.
Подробнее
На конгресс приехало 1000 делегатов из разных стран. Известно, что каждые трое из них могут говорить друг с другом без помощи остальных (однако при этом возможно, что одному из трех лиц придется служить переводчиком для двух других). Доказать, что всех делегатов конгресса можно так разместить в гостинице с двуместными номерами, что в каждом номере будут помещены делегаты, которые могут говорить друг с другом.
Подробнее
На международной конференции присутствуют 17 ученых. Каждые два из них беседуют друг с другом на определенном языке; при этом всего все 17 человек знают три языка. Доказать, что среди участников конференции найдутся трое, которые говорят друг с другом на одном и том же языке.
Подробнее
На некотором собрании присутствовало $n$ человек. Известно, что каждые два знакомых из них не имеют никаких общих знакомых, а каждые два незнакомых между собой лица имеют ровно двух общих знакомых.
а) Доказать, что все присутствующие имеют одно и то же число знакомых.
б) При каких $n$ возможно условие задачи?
Подробнее