Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник? (Напомним, что вписанным является многогранник, все вершины которого лежат на сфере.)
Подробнее
Докажите, что точки пересечения прямых $x + 2y = 19$ и $y + 2x = 98$ с гиперболой $y = \frac{1}{x}$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Точки $M, H$ и $O$ - середина стороны $AB$, основание высоты $AH$ и центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ соответственно. Прямые $CO$ и $HM$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $\angle AKC=90^{\circ}$.
Подробнее
Конечное множество $M$ точек плоскости обладает следующим свойством: для любых точек $A$ и $B$, принадлежащих $M$, существует такая точка $C$ из $M$, что $\angle ACB = \alpha$. При каких $\alpha$ это возможно? Докажите, что существует $\alpha$-множество $M$, состоящее из сколь угодно большого числа точек.
Подробнее
Пусть $f (x) = x^2 + 12x + 30$. Решите уравнение $f (f (f (f (f (x))))) = 0$.
Подробнее
$E, F, G$ - точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности и сторон $AB, BC$ и $AC$ соответственно: $O_1, O_2, O_3$ - центры вневписанных окружностей (рис.). Докажите, что прямые $O_1E, O_2F$ и $O_3G$ проходят через одну точку.
Подробнее
У куба отметили все вершины и центры всех граней (всего 14 точек). Оказалось, что расстояние от любой из этих точек до некоторой плоскости принимает лишь два различных значения, меньшее из которых равно 1. Найдите длину ребра куба.
Подробнее
Даны две параболы $y = a(x-b)^2$ и $y = c(x-d)^2$ (парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой). Докажите, что если фокус первой параболы лежит на второй параболе, то фокус второй лежит на первой.
Подробнее
Можно ли клетчатый прямоугольник $5 \times 7$ покрыть «уголками» из трех клеток так, чтобы все клетки были покрыты одним числом слоев?
Подробнее
Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь правильного тетраэдра с ребром длины 1.
Подробнее
Каждую сторону выпуклого $n$-угольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на ее длину (рис.). Оказалось, что концы построенных отрезков являются вершинами правильного $n$-угольника. Докажите, что исходный $n$-угольник правильный.
Подробнее
На доске написаны три функции: $f_1(x) = x+ \frac{1}{x}, f_2(x) = x^2, f_3 (x) = (x-1)^2$. Разрешается складывать, вычитать и перемножать эти функции, умножать на произвольное число и прибавлять произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию $\frac{1}{x}$. Докажите, что если стереть с доски любую из функций $f_1, f_2, f_3$, то получить $\frac{1}{x}$ невозможно.
Подробнее
В футбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз), участвовало 16 команд, каждые две из которых набрали различное число очков (победа - 3 очка, ничья - 1 очко). Оказалось, что команда «Зубило» проиграла всем командам, набравшим в итоге меньшее число очков. Какого наилучшего результата она могла добиться?
Подробнее
На сторонах единичного квадрата вне его как на гипотенузах построены прямоугольные треугольники. Пусть $A, B, C, D$ - вершины при прямых углах, а $O_A, O_B, O_C, O_D$ - центры вписанных окружностей этих треугольников (рис.). Докажите, что а) площадь четырёхугольника $ABCD$ не превосходит 2; б) площадь четырёхугольника $O_AO_BO_CO_D$ не превосходит 1.
Подробнее
Сумма целых чисел $x, у, z, t$ равна нулю. Докажите, что число $\frac {x^4 + y^4 + z^4 + t^4}{2} + 2xyzt$ является квадратом целого числа.
Подробнее