B остроугольном треугольнике две высоты равны 3 см и $2sqrt{2}$ еле, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найти площадь треугольника.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ разность углов $B$ и $C$ равна $\pi/2$. Определить угол $C$, если известно, что сумма сторон $b$ и $с$ равна $k$, а высота, опущенная из вершины $A$, равна $h$.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ имеется точка $O$ такая, что углы $ABO, BCO$ и $CAO$ равны $\alpha$. Выразить $ctg \alpha$ через площадь треугольника и его стороны.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ дана разность $\phi$ углов $A$ и $B$ ($\phi = A - B > 0$). Известно, что высота, опущенная из $C$ на $AB$, равна $BC - AC$. Найти углы треугольника.
Подробнее
Даны длины высот $AA_1 = h_a$ и $BB_1 = h_b$ треугольника $ABC$ и длина $CD = l$ биссектрисы угла $C$. Найти угол $C$.
Подробнее
B треугольник с основанием $a$ и противоположным углом а вписана окружность. Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность. Найти ее радиус.
Подробнее
Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности равен $r$, сторона $BC$ больше $r$ в $k$ раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше $r$ в 4 раза. Найти полупериметр $p, tg\frac{A}{2}$ и стороны $b$ и $с$.
Подробнее
Углы $C, A, B$ треугольника $ABC$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть $O$ -центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $K$ -центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$, $L$ - центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Доказать, что треугольники $ABC$ и $OKL$ подобны.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ углы $A, B$ и $C$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Доказать, что $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.
Подробнее
Доказать, что если $P, Q, R$ - соответственно точки пересечения каждой из сторон $BC, CA, AB$ (или их продолжений) треугольника $ABC$ с некоторой прямой, то $\frac{BR \cdot AQ \cdot PC}{AR \cdot QC \cdot BP} = 1$(теорема Менелая).
Подробнее
Tочка $D$ находится на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Доказать, что $AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC = BC \cdot DC \cdot BD$ (теорема Cтюарта).
Подробнее
Hа сторонах треугольника $ABC$ взяты точки $P, Q$ и $R$ так, что три прямые $AP, BQ$ и $CR$ пересекаются в одной точке. Доказать, что $\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$. (теорема Чевы).
Подробнее
Через произвольную точку $O$, взятую внутри треугольника $ABC$, проведены прямые $DE, FK, MN$, параллельные соответственно $AB, AC, BC$, причем $F$ и $M$ лежат на $AB, E$ и $K$ - на $BC, N$ и $D$ - на $AC$. Доказать, что $\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = 1$.
Подробнее
Через центр $O^{\prime}$ правильного треугольника $ABC$ проведена произвольная прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Подробнее