Тренажер для бегуна представляет собой ленту-гусеницу массы m, которая может свободно вращаться вокруг барабанов (см. рисунок). Барабаны легкие, они вращаются без трения вокруг неподвижных осей. Первоначально спортсмен держится за поручень и бежит на месте, отталкивая ленту назад, скорость бегуна относительно ленты $V$. В некоторый момент бегун отпускает поручень, прекращает бежать по ленте и, за пренебрежимо малое время, останавливается относительно нее. За какое время он доедет до конца тренажера? Длина тренажера $L$, масса спортсмена $M$, первоначально он находился посередине. Тренажер не сдвигается относительно пола.
Подробнее
Идеальный одноатомный газ, участвует в квазистатическом процессе, при котором давление $p$ зависит от температуры $T$ как изображено на графике, количество вещества газа неизменно. Найдите все точки графика, которые соответствуют моментам, когда теплоемкость газа такая же, как в точке А.
Подробнее
Дельфин, находящийся на глубине $h$, слышит писк летучей мыши, летающей над морем на высоте $H$, а летучая мышь слышит крик дельфина. Скорость звука в воздухе $c$, а в воде $c^{ \prime}$. Первоначально дельфину кажется, что источник звука рас положен под углом а к вертикали. Известно, что если дельфин и мышь будут двигаться прямо на звук, они встретятся максимально быстро (через минимально возможное время). Во сколько раз скорость дельфина отличается от скорости летучей мыши?
Подробнее
Тяжелое крепление в виде маленького шара массы $M$ соединяет жестко стержень длиной $L$ и середину тонкого круглого металлического диска. Второй конец стержня прикреплен к потолку шарниром III, так что вся конструкция может качаться, при этом стержень всегда перпендикулярен диску (см. рисунок). Снизу, точно под шарниром, на расстоянии $a$ от диска закрепляют точечный заряд $q$. Найдите период малых колебаний конструкции. Диск заземлен, величина $a$ мала по сравнению с $L$ и с радиусом диска, стержень и диск легкие. Ускорение свободного падения $g$, сопротивлением воздуха пренебречь.
Подробнее
Тележка массой $M$ укреплена на рельсах. На тележке расположена вертушка, на ее концах, на расстоянии $R$ от оси вращения, имеются заряды $q$ и $- q$ (см. рисунок, вид сверху). Двигатель вращает вертушку с постоянной угловой скоростью $\omega$, при этом заряды движутся в вертикальном магнитном поле индукции $B$. В момент, когда вертушка параллельна рельсам, тележку освобождают. Найдите координаты тележки на рельсах как функцию времени. Трение тележки о рельсы пренебрежимо мало. Как изменится ответ задачи, если тележку освободить в момент, когда вертушка перпендикулярна рельсам?
Подробнее
Вокруг правильного треугольника $ABC$ описана окружность $О$ радиуса $R$. Окружность $О_1$ касается двух сторон $АВ$ и $ВС$ треугольника и окружности $O$. Найти расстояние от центра окружности $O_1$ до вершины $A$.
Подробнее
Высота равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при основании больше радиуса вписанного в него круга на $m$. Определить основание треугольника и радиус описанной окружности.
Подробнее
Доказать, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.
Подробнее
B треугольнике соединены основания биссектрис. Найти отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как $p:q:l$.
Подробнее
Даны внутренние углы $A, B, C$ треугольника $ABC$. Пусть окружность касается сторон $BC, AC$ и $AB$ треугольника соответственно в точках $A_1, B_1, C_1$. Найти отношение площади треугольника $A_1B_1C_1$ к площади треугольника $ABC$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, углы $B$ и $C$ которого относятся, как 1:3, а биссектриса угла $A$ делит площадь треугольника в отношении 2:1. Найти углы треугольника.
Подробнее
Вычислить длину $l$ биссектрисы внешнего угла $A$ треугольника, если даны его стороны $b$ и $с$ и угол $A$ между ними ($b \neq c$).
Подробнее
B треугольнике площади $S$ с острым углом $\alpha$ при вершине $A$ биссектриса угла $A$ в $р$ раз меньше радиуса описанного и в $q$ раз больше радиуса вписанного круга. Найти сторону треугольника, лежащую против угла $A$.
Подробнее
B треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $BN$. Пусть $O$ - точка их пересечения. Известно, что $AO$ относится к $OM$, как $\sqrt{3}$ к единице, а $BO$ к $ON$ - как единица к $\sqrt{3} - 1$. Найти углы треугольника.
Подробнее
Внутри угла $\alpha$ взята точка $M$. Ее проекции $P$ и $Q$ на стороны угла удалены от вершины $O$ угла на расстояния $0P=p$ и $OQ = q$. Найти расстояния $MP$ и $MQ$ от точки $M$ до сторон угла.
Подробнее