Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Подробнее
На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа $k$, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес $k$ самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса $k$ самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше $x$, на монету веса $x$ (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число $x$.
Подробнее
Можно ли прямоугольник $5 \times 7$ покрыть уголками из трех клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2 \times 2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Подробнее
На стороне $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ (точка $E$ ближе к точке $B$, чем точка $F$). Известно, что $ \angle BAE = \angle CDF$ и $\angle EAF = \angle FDE$. Докажите, что $\angle FAC = \angle EDB$.
Подробнее
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
Подробнее
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых взаимно простых $x$ и $y$ и натуральном $k, k > 1$, выполняется равенство $3^n = x^k + y^k$.
Подробнее
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Подробнее
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
Подробнее
Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ: 1) За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди. 2) Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство. 3) Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать. 4) Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой. Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?
Подробнее
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удаленной от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна $180^{\circ}$.
Подробнее
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще 10 чисел, причем все 20 чисел должны быть положительными и различными. Могли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трехчленов вида $x^2 + px + q$, среди коэффициентов $p$ и $q$ которых встречались бы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
Подробнее
Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до $n (n > 1)$, одинаково читаться слева направо и справа налево?
Подробнее
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Подробнее
Докажите, что при $n \geq 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$ -угольник, не может являться правильным $(n + 1)$ - угольником.
Подробнее