Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Подробнее
Две окружности радиусом $R$ и $r$ касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ и пересекаются в точках $C$ и $D$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ не зависит от длины отрезка $AB$.
Подробнее
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок — одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Подробнее
Найдите все простые $p$ такие, что число $p^{2}+11$ имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).
Подробнее
Окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис.). Окружность, проходящая через точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $A$, вторично пересекает окружность $S_{1}$ в точке $D$, окружность $S_{2}$ — в точке $E$ и прямую $AB$ — в точке $C$. Докажите, что $CD=CB=CE$.
Подробнее
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (рис.). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Подробнее
Можно ли в таблице 11 × 11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Подробнее
Дана функция $f \left (x \right ) = \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^{3}}}$. Найдите $\underbrace{f( \cdots f(f(19)) \cdots )}_{95 \: раз}$.
Подробнее
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что НОК $\left ( m, n \right )$ + НОД $\left ( m, n \right )$ равно $m+n$. Докажите, что одно из чисел $m$ или $n$ делится на другое.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ на высоте $BK$ как на диаметре построена окружность $S$, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. К окружности $S$ в точках $E$ и $F$ проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины $B$.
Подробнее
На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.
Подробнее
Рассматриваются всевозможные квадратичные функции $f\left ( x \right )= ax^{2}+bx+c$, такие, что $a < b$ и $f\left ( x \right ) \geq 0$ для всех $x$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\frac{a+b+c}{b-a}$?
Подробнее
Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Подробнее
На шоколадной фабрике Вилли Вонки производятся плитки обычного и пористого шоколада одинаковой формы. Вилли Вонка хочет сделать такую же по форме плитку из обычного шоколада с воздушным рисом. Сколько грамм воздушного риса ему нужно взять, чтобы получившаяся плитка весила ровно столько, сколько пористая? Плитка из обычного шоколада весит 65 г, его плотность равна $1,3 г/см^{3}$, плотность пористого — $1 г/см^{3}$, а плотность воздушного риса — $0,1 г/см^{3}$. Все плитки получаются равного объема.
Подробнее
Два робота участвуют в гонках на прямой трассе длиной 4,5 метра. Они одновременно начинают движение от линии старта со скоростью 10 см/с. Первый робот способен 5 раз мгновенно увеличить свою скорость на 1 см/с, второй — один раз на 5 см/с. По правилам гонки перед переключением скорости каждый робот должен проехать не менее 5 секунд с неизменной скоростью. Найдите минимальное время гонки, при котором роботы могут финишировать одновременно. Укажите моменты времени, в которые они при этом переключали скорости.
Подробнее