При каких значения параметра $a$ разность корней квадратного Уравнения $x^{2} - 6x + 12 + a^{2} - 4a = 0$ принимает наибольшее значение?
Подробнее
Вершины параллелограмма $ABCD$ являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 5, б, 8 и 7 (см. рисунок). К окружностям с центрами в противолежащимих вершинах проведены общие внешние касательные, которые образуют новый четырёхугольник. Докажите, что в него можно вписать окружность и найдите её радиус.
Подробнее
Найдите среднее арифметическое всех пятизначных чисел-палиндромов (чисел, которые справа налево и слева направо читаются одинаково, например, 12421).
Подробнее
$CA$ и $CB$ - касательные к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно, $AD$ - ее диаметр. Прямые $DB$ и $AC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $C$ - середина отрезка $AE$.
Подробнее
Можно ли число 2002 представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, произведение которых делится на 2002?
Подробнее
Докажите, что при всех $x > 0, y > 0$ выполняется неравенство
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{2} + x^{2} } \leq \frac{1}{xy}$.
Подробнее
К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные его сторонам. Точки пересечения касательных со сторонами треугольника являются вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Верно ли, что противолежащие стороны этого шестиугольника попарно равны?
Подробнее
Укажите все натуральные значения $n$ такие, что $(n - 1)!$ делится на $n$. (Напомним, что $m! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots (m - 1) \cdot m$).
Подробнее
Существуют ли иррациональные числа $x$ и $y$ такие, что числа $x + y^{2}$ и $x + 2y$ - рациональные?
Подробнее
В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $CD$. Докажите, что если $AD > 2BC$, то $\angle ABD$ - тупой.
Подробнее
Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника $ABCDE$, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках $A, B, C, D$ и $E$ лежала хотя бы одна точка?
Подробнее
Представьте многочлен $x^{7} + x^{5} + 1$ в виде произведения двух многочленов.
Подробнее
Существует ли четырехугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырехугольника?
Подробнее
В компании из $n$ человек есть «шпион» - человек, который знает каждого члена этой компании, но его не знает никто из них. Вы можете спросить любого из членов компании про любого другого человека, знает он его или нет, и получить честный ответ. Сможете ли вы выявить «шпиона», задав $(n - 1)$ вопрос?
Подробнее
Найдите все наборы, состоящие из 11 чисел, если известно, что каждое из этих чисел равно квадрату суммы остальных десяти чисел.
Подробнее