У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической регате?». Один сказал: «Меньше семидесяти двух». Другой: «Меньше семидесяти одной», а третий: «Меньше семидесяти трех». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в точности двое членов жюри?
Подробнее
На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза.
В результате, на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $CK$, пересекающиеся в точке О. Может ли угол $AOC$ оказаться острым?
Подробнее
Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, $\cdots$. Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2003-м месте.
Подробнее
Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься, стоя на этом эскалаторе неподвижно?
Подробнее
Даны точки $A, B, C$ и $D$ так, что отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Отрезок $AE$ на 1 см короче, чем отрезок $AB, AE = DC, AD = BE, \angle ADC = \angle DEC$. Найдите длину $EC$.
Подробнее
Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?
Подробнее
Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?
Подробнее
Известно, что $a = 3^{2004} + 2$. Верно ли, что $a^{2} + 2$ - простое число? Обоснуйте.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в три раза больше угла $A$. На стороне $AB$ взята такая точка $D$, что $BD = BC$. Найдите $CD$, если $AD = 4$.
Подробнее
Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны: 2, 2, 3, 4, 5, 6? Обоснуйте.
Подробнее
Докажите, что если $xy + z = yz + x = zx + y$, то $(x - y)(y - z)(z - x) = 0$.
Подробнее
$ABCD$ - квадрат. Треугольники К $AMD$ и $AKB$ - равносторонние (см. рисунок). Верно ли, что точки $C, M$ и $K$ лежат на одной прямой?
Подробнее
В трехзначном числе зачеркнули цифру в разряде сотен, затем полученное двухзначное число умножили на 7 и вновь получили исходное трехзначное число. Какое это число?
Подробнее
Треугольник, один из углов которого равен $40^{ \circ}$, разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могли быть остальные углы исходного треугольника?
Подробнее