Средний возраст одиннадцати футболистов — 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
Подробнее
Даны два равнобедренных треугольника, в каждом из которых есть сторона, длина которой 6 см, и угол, градусная мера которого $100^{ \circ}$. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? Ответ обоснуйте.
Подробнее
Вместо знаков $*$ вставьте такие числа, чтобы равенство
$(x^{2} + * \cdot x + 2) \cdot (x + 3) = (x + *) \cdot (x^{2} + * \cdot x + 6)$
стало тождеством.
Подробнее
Даны десять точек, расположенные в виде «равностороннего треугольника» (см. рисунок). Зачеркните некоторые из данных точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество точек.
Подробнее
Докажите, что если число $b$ является средним арифметическим чисел $a$ и $c$, причем $a > c$, то выражение $ab + bc - ac - b^{2}$ принимает только положительные значения.
Подробнее
«Во время игры в шахматы у меня осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника, и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, но все равно я выиграл эту партию!» - сказал Винтик Шпун-тику. «А у меня, в одной из партий, фигур осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки я сумел победить!» - в свою очередь рассказал Шпунтик. Чьему рассказу можно верить и почему?
Подробнее
В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?
Подробнее
Какое наименьшее количество плоских разрезов необходимо сделать, чтобы разрезать куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать образовавшиеся части в любое место.
Подробнее
Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?
Подробнее
Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рисунок). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все «угловые» кубики.
Подробнее
Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ABC$. Они пересекают прямые $CB$ и $BA$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите длину $AB$, если $BM = 8 см, KC = 1 см$ и $AB > BC$.
Подробнее
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Подробнее
Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
Подробнее
Дана пирамида $ABCD$ (см. рисунок). Известно, что $\angle ABB = \angle DBC; \angle ABD = \angle BDC; \angle BAD = \angle ABC$. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника $ABC$ равна $10 см^{2}$.
Подробнее
На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он - рыцарь!», либо «Он - лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Подробнее