Найдите все простые числа $p$, $q$, $r$ и $s$ такие, что их сумма -простое число, а числа $p^{2}+qs$ и $p^{2}+qr$ -квадраты натуральных чисел. (Числа $p$, $q$, $r$ и $s$ предполагаются различными.)
Подробнее
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
Подробнее
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй -на треть, третий -на четверть, четвертый -на одну пятую, пятый -на одну восьмую, шестой -на одну девятую, и седьмой -на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным
а) на одну двенадцатую; б) на одну шестую?
Подробнее
Уравнение $x^{2} + ax + b = 0$ имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax3 + (b - 2)x2 -ax +1=0 $x^{4} + ax^{3} + (b-2)x^{2} - ax = 1 $ имеет четыре различных действительных корня.
Подробнее
Окружность с центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF -в точке N, а прямые BK и CN -в точке M. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
Подробнее
Прямоугольник m х n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.
Подробнее
Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.
Подробнее
Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и $P(19) = P(94) = 1994$.
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC -стороне DE. Докажите, что если $AB = AE = ED = 1$, то $BC + CD < 1$.
Подробнее
В городе Цветочном n площадей и m улиц $ (m \geq n +1) $. Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо синей, либо красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из нее улицы. Докажите, что вначале можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
Подробнее
Биссектриса угла $ABC$ образует с его стороной угол, который равен углу, смежному с углом $ABC$. Найдите градусную меру угла $ABC$.
Подробнее
Среди уравнений, приведенных в пунктах а) - е), укажите уравнения, задающие параллельные прямые: а) $y = 3x - 5$; б) $2y = x + 6$; в) $y = - 0,7x$; г) $y = \frac{6 + x}{2}$; д) $y = \frac{x}{3}$; е) $y = \frac{4 - 7x}{10}$.
Подробнее
Вычислите сумму: $1 + 4 + 7 + \cdots + 97 + 100$.
Подробнее
Треугольник $ABC$ - равносторонний. Лучи $AD, BE$ и $CM$ попарно пересекаются внутри треугольника, причем $\angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (см. рисунок). Являются ли точки $D, E$ и $M$ вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.
Подробнее
К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
Подробнее