Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Подробнее
Высота четырехугольной пирамиды $SABCD$ проходит через точку пересечения диагоналей ее основания $ABCD$. Из вершин основания опущены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ на прямые $SC, SD, SA$ и $SB$ соответственно. Оказалось, что точки $S, A_1, B_1, C_1, D_1$ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые $AA_1$, BB_1, CC_1, DD_1$ проходят через одну точку.
Подробнее
Дан тетраэдр $ABCD$. Вписанная в него сфера $w$ касается грани $ABC$ в точке $T$. Сфера $w^{\prime}$ касается грани $ABC$ в точке $T^{\prime}$ и продолжений граней $ABD, BCD, CAD$. Докажите, что прямые $AT и AT^{\prime}$ симметричны относительно биссектрисы $ \angle BAC$.
Подробнее
Дана треугольная пирамида $ABCD$. Сфера $S_1$, проходящая через точки $A, B, C$, пересекает ребра $AD, BD, CD$ в точках $K, L, M$ соответственно; сфера $S_2$, проходящая через точки $A, B, D$, пересекает ребра $AC, BC, DC$ в точках $P, Q, M$ соответственно. Оказалось, что $KL \parallel PQ$. Докажите, что биссектрисы плоских углов $KMQ$ и $LMP$ совпадают.
Подробнее
В тетраэдре $ABCD$ из вершины $A$ опустили перпендикуляры $A{B}^{ \prime} ,A{C}^{ \prime} , A{D}^{ \prime} $ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах $CD, BD, BC$ пополам. Докажите, что плоскость $({B}^{ \prime} {C}^{ \prime} {D}^{ \prime} )$ параллельна плоскости $(BCD)$.
Подробнее
Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.
Подробнее
Высоты $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ тетраэдра $ABCD$ пересекаются в центре $H$ сферы, вписанной в тетраэдр $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что тетраэдр $ABCD$ - правильный. (Высотой тетраэдра называется отрезок перпендикуляра, проведенного из его вершины к противоположной грани, заключенный между этой вершиной и плоскостью этой грани).
Подробнее
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Подробнее
Докажите, что при $n \geq 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$ -угольник, не может являться правильным $(n + 1)$ - угольником.
Подробнее
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием $a \times b$ и высотой $с (a, b$ и $с$ - натуральные числа) оклеена «по клеточка» без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными ребрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из четного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если с нечетно, то число способов оклейки четно.
Подробнее
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой - в точке пересечения высот, третьей - в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
Подробнее
В тетраэдр $ABCD$, длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Подробнее
Через вершину $A$ тетраэдра $ABCD$ проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней $ABC, ACD \: ABD$ образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда $AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC$.
Подробнее
Сфера с центром в плоскости основания $ABC$ тетраэдра $SABC$ проходит через вершины $A, B$ и $C$ и вторично пересекает ребра $SA, SB$ и $SC$ в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках $A_1, B_1$ и $C_1$, пересекаются в точке $O$. Докажите, что $O$ - центр сферы, описанной около тетраэдра $SA_1B_1C_1$.
Подробнее
Вписанная в тетраэдр $ABCD$ сфера касается его граней $ABC, ABD, ACD$ и $BCD$ в точках $D_1, C_1, B_1$ и $A_1$ соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки $A$ и плоскости $B_1C_1D_1$ и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр $ABCD$.
Подробнее