Найти все пары целых чисел $x, y$, при которых является верным равенство
$x^{3} – 3x^{2} – xy -8x -2y + 27 = 0$.
Подробнее
Решить систему уравнений
$\begin{cases} log_{2} \left ( x^{2}y + 2xy^{2} \right ) - log_{ \frac{1}{3}} \left ( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right ) = 4, & \\ log_{5} \left | \frac{xy}{6} \right | = 0.& \end{cases}$
Подробнее
Решить неравенство
$\sqrt[4]{ \frac{5 + 3 \cos 4x}{8}} > - \sin x$
Подробнее
Сторона ромба $ABCD$ равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.
Подробнее
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x = (4a - 2)^{2}$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^{4}}$ являются целыми.
Подробнее
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt{5}$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD (AD = BC)$, описанная около окружности и такая, что $AB = 6, \angle BAD = \frac{ \pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Подробнее
График функции $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,c < 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ c осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a, b, c$ если площадь треугольника $AMN$ равна 1.
Подробнее
Что больше $\frac{2}{201}$ или $ln \frac{101}{100}$? Докажите аналитически.
Подробнее
Справедливо ли равенство:
$\cos \frac{2 \pi}{9} + \cos \frac{4 \pi}{9} + \cos \frac{6 \pi}{9} + \cos \frac{8 \pi}{9} = - \frac{1}{2}$?
Подробнее
Льдина высотой $H = 0,5 м$, имеющая форму параллелепипеда, плавает в реке. Льдину погружают в воду на небольшую глубину и отпускают. Определите частоту колебаний $\nu$ льдины, если известно, что плотность воды $\rho_{в} = 10^{3} кг/м^{3}$, плотность льда $\rho_{л} = 900 кг/м^{3}$. Силами сопротивления при колебаниях пренебречь.
Подробнее
Докажите, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
$a^{2} + ab + b^{2} \geq 3(a + b - 1)$.
Подробнее
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.
Подробнее
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если
а) AM = CN; б) BM = BN ?
Подробнее
В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные — рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?
Подробнее
Докажите, что уравнение $x^{3} + y^{3} = 4(x^{2}y + xy^{2} + 1$) не имеет решений в целых числах.
Подробнее