Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая $l$, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой $l$, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если $D \neq E$, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой $l$. Найдите геометрическое место точек P и T.
Подробнее
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из любого города можно проехать по дорогам в любой другой. Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Подробнее
Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков меда и 22 банки сгущенного молока, причем горшок меда он съедал за 2 минуты, а банку молока — за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увел Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок меда за 5 минут, а банку молока — за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку молока и горшок меда можно делить на любые части).
Подробнее
Города A, B, C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше расстояния от D до A, а расстояние от C до B меньше расстояния от D до B. Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B, меньше расстояния от города D до этой точки.
Подробнее
Существует ли квадратный трехчлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $P(n)$ также записывается одними единицами?
Подробнее
На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого).
Подробнее
Известно, что уравнение $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$ имеет три различных корня. Докажите, что уравнение $cx^{5} + bx + a = 0$ также имеет три различных корня.
Подробнее
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность $S_{1}$ с центром $O_{1}$ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность $S_{2}$ такого же радиуса с центром $O_{2}$ касается сторон угла MLP, причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка $O_{1}$ лежит на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых $O_{2}D$ и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD.
Подробнее
Тело брошено со скоростью $v_{0} = 20 м/с$ под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени $t = 1,5 с$ после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.
Подробнее
Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом $r = 4 м$, задается уравнением $a_{n} = A + Bt + Ct^{2}$ ($A = 1 м/с^{2}, B = 6 м/с^{3}, C = 9 м/с^{4}$). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время $t_{1} = 5 с$ после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени $t_{2} = 1 с$.
Подробнее
Движение материальной точки в плоскости ху описывается законом $x = At, y = At(1 + Bt)$, где $A$ и $B$ - положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки $y(x)$; 2) радиус - вектор $\vec{r}$ точки в зависимости от времени; 3) скорость $v$ точки в зависимости от времени; 4) ускорение $a$ точки в зависимости от времени.
Подробнее
Точка движется по окружности радиусом $R = 15 см$ с постоянным тангенциальным ускорением $a_{ \tau}$. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки $v_{1} = 15 см/с$. Определите нормальное ускорение $a_{n2}$ точки через $t_{2} = 16 с$ после начала движения.
Подробнее
Частица массой $m$ движется под действием силы $\vec{F} = \vec{F}_{0} \cos \omega t$ где $\vec{F}_{0}$ и $\omega$ — некоторые постоянные. Определите положение частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор $\vec{r}$ как функцию времени, если в начальный момент времени $t = 0, \vec{r}(0) = 0$ и $\vec{v}(0) = 0$.
Подробнее
Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой $m_{0}$ начинает движение из состояния покоя под воздействием постоянной силы тяги $\vec{F}$. Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянной скоростью $\mu$ (кг/с). Определите $\vec{v}(t)$, т. е. зависимость скорости платформы от времени.
Подробнее
Ракета, масса $M$ которой в начальный момент времени равна 300 кг и начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью $u = 200 м/с$. Расход горючего $\mu = 100 г/с$. Пренебрегая сопротивленнием воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток времени скорость ракеты станет равной $v_{1} = 50 м/с$; 2) скорость $v_{2}$, которой достигнет ракета, если масса заряда $m_{0} = 0,2 кг$.
Подробнее