Вычислить интеграл
$\int_{0}^{\pi} \sqrt{1 + \cos 2x} dx$.
Подробнее
Вычислить интеграл
$\int_{0}^{1} ln x ln(1 - x)dx$,
зная, что
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$.
Подробнее
Доказать, что для любого целого $n$ справедливо равенство
$\int_{0}^{2 \pi} \sin (\sin x + nx) dx = 0$.
Подробнее
Вычислить
$\int_{- \pi/4}^{\pi / 4} \frac{x^{7} – 3x^{5} + 7x^{3} – x + 1}{\cos^{2}x} dx$.
Подробнее
Проверить, что при $x >0$ уравнение $z^{3} + xz = 8$ определяет единственную функцию $z(x)$ (с действительными значениями), и найти
$\int_{0}^{7}z^{2} dx$
Подробнее
Вычислить предел
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \cos x^{n} dx$.
Подробнее
Найти интеграл
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)}$
Подробнее
Пусть $a < b < c < d$ и $p(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \times (x - d)$. Доказать, что
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}} = \int_{c}^{d} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}}$
(при одинаковых энергиях периоды колебаний в обеих потенциальных ямах $p(x)$ равны).
Подробнее
Найти интеграл
$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx$
С ошибкой не больше 0,2.
Подробнее
Вычислить
$\int_{1}^{10} x^{x} dx$
с относительной погрешностью не более 1 % (требуется дать ответ, а не доказательство оценки ошибки; $ln 10 \approx 2,3026$).
Подробнее
Доказать, что длина $l$ эллипса с полуосями $a$ и $b$ удовлетворяет неравенству
$\pi(a + b) \leq l \leq \pi \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
Подробнее
Пусть $0 < f(z) < \frac{1}{2z}$. Доказать, что функция
$g(x) = \int_{0}^{x} z^{2} f(z) dz - \left ( \int_{0}^{x} zf(z) dz \right )^{2}$
возрастает при $x > 0$.
Подробнее
Пусть $f(x)$ - непрерывная периодическая функция с периодом 2, причем $f(x)$ монотонно убывает на $[0, 1]$, монотонно возрастает на $[1, 2]$ и $f(x) = f(2 - x)$. Доказать, что интеграл
$\int_{0}^{2} f(x) f(x + \alpha) dx$
достигает минимума при $\alpha = 1$.
Подробнее
Пусть функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[0, 1]$, причем $|f(x) \leq 1$. Доказать неравенство
$\int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx \leq \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} f(x)dx \right )^{2}}$
Подробнее
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на отрезке $[0, 1]$, $a$ - положительное число, причем
$\int_{0}^{1} f(x) dx = a, 0 \leq f(x) \leq a^{2/3}$.
Доказать, что $\int_{0}^{1} \sqrt{f(x)} dx \geq a^{2/3}$.
Подробнее
