Цезарь решил испытать своих легионеров. Он закрепил катапульту на краю вращающегося горизонтального диска радиуса $R$ и велел попасть из нее в середину мишени, расположенной в центре диска (см. рис.). Катапульта может стрелять под любым углом к горизонту и в любом направлении со скоростью $V$. При каких значениях $V$ легионеры смогут выполнить приказ Цезаря? Угловая скорость вращения диска равна $\omega$, ускорение свободного падения $g$ сопротивлением воздуха пренебречь.
Подробнее
Дорога между двумя горными сёлами $A$ и $B$ идёт то в гору, то под гору. Автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из $A$ в $B$ и обратно. Какова была его средняя скорость на всём пути?
Подробнее
Три маленькие улитки в исходном положении находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a = 60 см$. В некоторый момент времени все приходит в движение: первая улитка движется ко второй, вторая - к третьей, третья - к первой с одинаковыми и постоянными по величине скоростями $v = 5 см/мин$. Во время движения каждая улитка всегда оказывается впереди по отношению к соответствующей следующей улитке. Сколько пройдет времени и какой путь пройдут улитки до того, как они встретятся? Каковы уравнения их траекторий? Если улитки считать точечными, то сколько раз каждая улитка повернется вокруг точки их встречи?
Подробнее
Маленький предмет покоится на краю горизонтального стола. Его толкают таким образом, что он падает с другой стороны стола, ширина которого 1 м, через 2 с. Имеет ли предмет колеса?
Подробнее
Лодка может плыть в стоячей воде со скоростью $v = 3 м/с$. Лодочник хочет переплыть реку постоянной ширины по самому короткому пути. В каком направлении по отношению к берегу он должен грести, если скорость $u$ воды в реке равна: а) $u = 2 м/с$; б) $u = 4 м/с$? Считайте, что скорость воды в реке везде одинакова.
Подробнее
Четыре черепашки движутся равномерно и прямолинейно по очень большой плоской поверхности. Направления их траекторий произвольны (но не параллельны, т.е. любые две черепашки могли бы встретиться), при этом пересечься в какой-либо точке могут не более двух траекторий. На текущий момент произошли уже пять встреч из $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ возможных. Можно ли тогда с определенностью сказать, что шестая встреча тоже произойдет?
Подробнее
Маленький упругий шарик падает вертикально на плоскость, наклоненную под углом $\alpha$ к горизонту. Верно ли, что расстояния между последовательными точками ударов шарика растут в арифметической прогрессии? Считайте, что столкновения абсолютно упругие, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Подробнее
Маленький шарик В лежит на краю стола высотой 1 м, другой такой же шарик А подвешен на нити длиной 1 м и представляет собой математический маятник (рис.). Если нить с шариком A привести в горизонтальное положение и отпустить, то между шариками произойдет упругое столкновение. Рассматривая движение шарика В только до момента его падения на землю, ответьте на вопросы:
а) какой шарик дольше находится в движении;
б) у какого шарика больше длина траектории?
Подробнее
Минутная стрелка церковных часов вдвое длиннее, чем часовая. В какой момент после полуночи конец минутной стрелки будет удаляться от конца часовой стрелки с наибольшей скоростью?
Подробнее
Под каким углом к горизонту нужно бросить камень, чтобы он при движении все время удалялся от бросающего?
Подробнее
Ствол дерева диаметром $D = 20 см$ лежит на горизонтальной земле. Ленивый кузнечик хочет перепрыгнуть через ствол. Найдите минимальную скорость прыжка кузнечика, чтобы он смог осуществить свой замысел. Сопротивление воздуха не учитывать.
Подробнее
Фонтан состоит из маленького полусферического распылителя, который находится на поверхности воды в бассейне, как показано на рисунке. Распылитель имеет множество равномерно распределенных маленьких отверстий, через которые вода вытекает с одинаковой скоростью во всех направлениях. Какова форма водяного «колокола», сформированного струями?
Подробнее
Две одинаковые маленькие шайбы A и В могут скользить без трения по льду замерзшего озера. Они соединены легкой, нерастяжимой, но упругой нитью длиной $\sqrt{2}L$. В момент времени $t = 0$ шайба А покоится в точке с координатами $(0, 0)$, а шайбе В, которая находится в точке с координатами $(L, 0)$, сообщают скорость $v$ вдоль оси у в положительном направлении. Определите координаты и скорости шайб А и В в моменты времени $t_{1} = \frac{2L}{v}$ и $t_{2} = \frac{100L}{v}$.
Подробнее
Голодный паук приготовился поймать насекомое, если оно окажется в паутинке, которая натянута между ним и стеной. Длина нити 1 м. На нить попала гусеница (рис.). Увидев паука, она стала уползать от него к стене со скоростью $v_{г} = 1 мм/с$ относительно нити, а паук, оставаясь на месте, стал вытягивать свой конец нити со скоростью $v_{0} = 1 см/с$, считая, что нить может растягиваться без ограничений. Доползет ли гусеница до стены?
Подробнее
Как изменится решение задачи 10342, если паук не сидит на месте, а удаляется от стены, увлекая за собой конец нити?
Подробнее