Дан треугольник $ABC$. Найти геометрическое место точек $M$ таких, что площади треугольников $AMB$ и $BMC$ равны.
Подробнее
Hа плоскости даны два отрезка: $AB$ и $CD$. Найти геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых площади треугольников $ABM$ и $CDM$ равны.
Подробнее
Дан куб с ребром $a$. Найти геометрическое место середин отрезков длины $l$, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой -на не параллельной ей диагонали нижнего основания.
Подробнее
Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на а) семь, б) восемь частей?
Подробнее
На свой день рождения Маша испекла торт, имеющий форму правильного шестиугольника $ABCDEF$. Разрезав его так, как показано на рис. ($M$ и $K$ — середины сторон $AF$ и $FE$ соответственно), она отдала два выделенных на рис. куска своим гостям: треугольный — Васе, а четырёхугольный — Пете. Кому из Машиных гостей достался больший кусок торта?
Подробнее
Разрежьте фигуру, показанную на рис., на две части и сложите из них квадрат.
Подробнее
Торт, имеющий форму правильного многоугольника, разрезали по всем диагоналям на маленькие кусочки. Может ли среди них оказаться кусочек, имеющий форму правильного а) треугольника; б) шестиугольника?
Подробнее
Пловец знает, что он плывёт не по прямой, а по дуге окружности радиуса 1 км (так как правая и левая руки делают неодинаковые гребки). Под каким углом к стенке бассейна он должен отплывать, чтобы кратчайшим путём доплыть до противоположной стенки, находящейся на расстоянии 100 м?
Подробнее
Три окружности проходят через точку $O$ и попарно пересекаются в точках $A, B$ и $C$. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника $ABC$, содержит центры двух данных окружностей, то она содержит центр третьей.
Подробнее
Точка $M$ - середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, точка $N$ - середина отрезка $MD$ (
). В каком отношении окружность, описанная около треугольника $BMN$, делит а) сторону $AB$ квадрата, б) отрезок $AM$?
Подробнее
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $E, F$ и $G$ соответственно (рис.). Точка $H$ симметрична $G$ относительно $O$. Прямые $EG$ и $HF$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ параллельны.
Подробнее
Точки $K, M, N$ - середины сторон $AB, CD, AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно; $L$ - середина отрезка $AN$ (рис.). Оказалось, что прямые $AM, BN, CL$ и $DK$ пересекаются в одной точке $O$. Докажите, что ломаная $BOM$ делит четырёхугольник на две равные по площади фигуры.
Подробнее
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $M$ - середина стороны $AC$. Оказалось, что треугольник $BOM$ равнобедренный с углом при вершине $\gamma$. Найдите наименьшее возможное значение $\gamma$.
Подробнее
$F$ и $E$ - точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности и сторон $AB$ и $BC$ соответственно, $K$ и $M$ - середины сторон $BC$ и $AC$ (рис.). Отрезки $FE$ и $KM$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $AN$ - биссектриса угла $A$ треугольника.
Подробнее
Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник? (Напомним, что вписанным является многогранник, все вершины которого лежат на сфере.)
Подробнее