Для заданного подмножества $S$ множества пар целых чисел назовем функцию $f: S \rightarrow S$ универсальной, если она обратима и дли любой пары $(n; m) \in S$ удовлетворяет условию
$f(n, m) \in \{(n - 1; m); (n + 1; m); n; m - 1); (n; m + 1)\}$.
Доказать, что если существует хотя бы одна универсальная функция, то существует универсальная функция $f(n, m)$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n, m)) \equiv (n; m), (n; m) \in S$.
Подробнее
Найти все пары ненулевых целых значений $m \leq n$, удовлетворяющих неравенству $m + n \neq 0$ и тождеству
$f_{m}(xy)f_{n}(x, y) \equiv f_{m+n}(x, y), x, y \in \mathbf{R}, xy(x+y) \neq 0$,
где обозначено
$f_{k}(x, y) = (x^{k} + y^{h} + (-1)^{k} (x + y)^{k})/k$.
Указание. Пары $m = 2, n = 3$ и $m = 2, n = 5$ требуемым условиям удовлетворяют.
Подробнее
Доказать, что если функция $f(x, y)$, определенная на множестве всех пар рациональных чисел и принимающая только положительные значения, удовлетворяет трем тождествам
$f(xy,z) \equiv f(x, z)f(y, z)$,
$f(z, xy) \equiv f(z, x)f(z, y)$,
$f(x, 1 - x) \equiv 1, x,y, z \mathbf{Q}$
то справедливы тождества
$f(x,x) \equiv 1 f(x,- x) \equiv 1, f(x, y) f(y, x) \equiv 1, x, y \in \mathbf{Q}$.
Подробнее
Доказать, что любая
функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая одному из тождеств $f(x + y) \equiv f(x) + f(y), x, y \in \mathbf{R}$,
$f(xy + x + y) \equiv f(xy) + f(x) + f(y), x,y mathbf{R}$,
удовлетворяет и другому.
Подробнее
Найти все непрерывные функции $f: (1; + \infty) \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(xy) \equiv xf(y) + yf(x), x, y > 1$.
Подробнее
а) Доказать, «по если непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(f(f(x))) = x, x \in \mathbf{R}$.
то при любом значении $x \in \mathbf{R}$ справедливо равенство $f(x) = x$.
б) Привести пример (разрывной) функции $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющей условиям
$g(x) \not \equiv$ и $g(g(g(x))) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все монотонные обратимые функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(x) + f^{-1}(x) = 2x, x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все дифференцируемые функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f^{\prime} \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{f(y) – f(x)}{y - x}, x,y \in \mathbf{R}, x \neq y$.
Подробнее
Найти все бесконечно дифференцируемые функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(x + y) \equiv f(f) + f(y) + 2xy, x, y \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Доказать, что если не равная тождественно 0 функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(x)f(y) \equiv f(x + y), x, y \in \mathbf{R}$.
и дифференцируема в точке $x = 0$, то она бесконечно дифференцируема в любой точке $x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Пусть $f$ и $g$ — действительные функции, определенные на всей прямой и удовлетворяющие уравнению
$f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)g(y)$
для всех $x,y$. Докажите, что если $f(x)$ не есть тождественный нуль и если $|f(x)| \leq 1$ для всех $x$, то $|g(y)| \leq 1$ для всех $y$.
Подробнее
Дано непустое множество $G$ не равных постоянной функций действительного аргумента $x$ вида $f(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ — действительные числа, причем $G$ удовлетворяет следующим условиям:
1) если $f, g \in G$, то $g \circ f \in G$, где $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, т. e. множество $G$ замкнуто относительно суперпозиции;
2) если $f \in G$, где $f(x) = ax+b$, то обратная функция $f^{-1} \in G$, где $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$;
3) для любой $f \in G$ существует $x_{f}$, такое, что $f(x_{f}) = x_{f}$.
Докажите, что существует действительное $k$, такое, что $f(k) = k$ для всех $f \in G$.
Подробнее
Фигура М на плоскости $(x, y)$ ограничена графиками функций $y = 4e^{-ax}$ и $y = 12 – 5e^{ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y = -12x + 4$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Подробнее
График функции $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,c < 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ c осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a, b, c$ если площадь треугольника $AMN$ равна 1.
Подробнее
Среди уравнений, приведенных в пунктах а) - е), укажите уравнения, задающие параллельные прямые: а) $y = 3x - 5$; б) $2y = x + 6$; в) $y = - 0,7x$; г) $y = \frac{6 + x}{2}$; д) $y = \frac{x}{3}$; е) $y = \frac{4 - 7x}{10}$.
Подробнее