Все двузначные числа, не оканчивающиеся нулем, выписывают одно за другим так, что каждое следующее начинается с той же цифры, на которую оканчивается предыдущее. Получается некоторое многозначное число. Из всех многозначных чисел, которые можно получить таким образом, выбирают наибольшее и наименьшее. Найти их сумму.
Подробнее
Пусть $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \cdots , d_{k}$ - всевозможные - делители числа $n$. Доказать, что $(d_{1} \cdot d_{2} \cdot d_{3} \cdot \cdots \cdot d_{k}^{2} )^{2} = n^{k}$.
Подробнее
Обозначим через $s$ сумму всех делителей числа $n$, а через $k$ - их число. Доказать, что при $n \geq 2$
$\frac{3}{4} n \geq \frac{s}{k} \geq \sqrt{n}$.
Подробнее
Доказать, что число $\frac{(nk)!}{(n!)^{k} \cdot k! }$ - целое.
Подробнее
$a, b$ и $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ - рациональные числа. Доказать, что $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ - тоже рациональные числа.
Подробнее
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее
Найдите $x_{1000}$, если $x_1 = 4, x_2 = 6$, и при любом натуральном $n \geq 3 x_n$ - наименьшее составное число, большее $2x_{n-1} - x_{n-2}$.
Подробнее
Каждой паре чисел $x$ и $y$ поставлено в соответствие некоторое число $x \ast y$. Найдите $1993 \ast 1935$, если известно, что для любых чисел $x$, $y$ и $z$ выполнены тождества: $x \ast x = 0 x \ast (y \ast z) = (x \ast y) + z$.
Подробнее
При разложении чисел $A$ и $B$ в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа $A + B$?
Подробнее
Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Подробнее
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Подробнее
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Подробнее
Докажите, что для любого $k > 1$ найдется степень 2 такая, что среди $k$ последних ее цифр не менее половины составляют девятки. (Например, $2^{12} = \cdots 96, 2^{53} = \cdots 992$.)
Подробнее
Докажите, что все числа $10017, 100117, 1001117, \cdots$ делятся на 53.
Подробнее
Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
Подробнее