Можно ли на деревянный куб нанести 100 (или 200) точек так, чтобы точки при всех вращениях куба переходили в себя. Докажите свой ответ.
Подробнее
Найдите все $x$, для которых
$\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
при любом значении $n$.
Подробнее
Дан линейный двучлен $l(z) = Az + B $ с комплексными коэффициентами $A$ и $B$. Известно, что максимальное значение $|l(x)|$ на отрезке $-1 \leq x \leq 1 (y=0)$ действительной оси комплексной плоскости $z = x + iy$ равно $M$.
Докажите, что при любом $z$
$|l(x)| \leq M \rho$,
где $\rho$ — сумма расстояний от точки $P = z$ до точек
$Q_{1} (z=1)$ и $Q_{3}(z=-1)$.
Подробнее
Решить уравнение
$\frac{\cos 3x}{\cos x} + \frac{2 | \cos x|}{\cos 3x} = -1$.
Подробнее
Решить неравенство
$\sqrt{3x^{2} + 8x - 3 } > \frac{1+2x}{3}$.
Подробнее
Фигура М на плоскости $(x, y)$ ограничена графиками функций $y = 4e^{-ax}$ и $y = 12 – 5e^{ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y = -12x + 4$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Подробнее
Найти все пары целых чисел $x, y$, при которых является верным равенство
$x^{3} – 3x^{2} – xy -8x -2y + 27 = 0$.
Подробнее
Решить систему уравнений
$\begin{cases} log_{2} \left ( x^{2}y + 2xy^{2} \right ) - log_{ \frac{1}{3}} \left ( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right ) = 4, & \\ log_{5} \left | \frac{xy}{6} \right | = 0.& \end{cases}$
Подробнее
Решить неравенство
$\sqrt[4]{ \frac{5 + 3 \cos 4x}{8}} > - \sin x$
Подробнее
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x = (4a - 2)^{2}$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^{4}}$ являются целыми.
Подробнее
График функции $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,c < 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ c осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a, b, c$ если площадь треугольника $AMN$ равна 1.
Подробнее
Что больше $\frac{2}{201}$ или $ln \frac{101}{100}$? Докажите аналитически.
Подробнее
Справедливо ли равенство:
$\cos \frac{2 \pi}{9} + \cos \frac{4 \pi}{9} + \cos \frac{6 \pi}{9} + \cos \frac{8 \pi}{9} = - \frac{1}{2}$?
Подробнее
Докажите, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
$a^{2} + ab + b^{2} \geq 3(a + b - 1)$.
Подробнее
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.
Подробнее