Высоты $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ тетраэдра $ABCD$ пересекаются в центре $H$ сферы, вписанной в тетраэдр $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что тетраэдр $ABCD$ - правильный. (Высотой тетраэдра называется отрезок перпендикуляра, проведенного из его вершины к противоположной грани, заключенный между этой вершиной и плоскостью этой грани).
Подробнее
Хорда $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярна ее диаметру $AB$, а хорда $AE$ делит пополам радиус $OC$. Докажите, что хорда $DE$ делит пополам хорду $BC$.
Подробнее
Точки $A_2, B_2$ и $C_2$ - середины высот $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$. Найдите сумму углов $B_2A_1C_2, C_2B_1A_2$ и $A_2C_1B_2$.
Подробнее
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Подробнее
Даны полуокружность с диаметром $AB$ и центром $O$ и прямая, пересекающая полуокружность в точках $C$ и $D$, а прямую $AB$ - в точке $M (MB < MA, MD < MC)$. Пусть $K$ - вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AOC$ и $DOB$. Докажите, что угол $MKO$ прямой.
Подробнее
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Подробнее
Центры $O_1 , O_2 $ и $O_3$ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек $O_1, O_2$ и $O_3$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Подробнее
На стороне $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ (точка $E$ ближе к точке $B$, чем точка $F$). Известно, что $ \angle BAE = \angle CDF$ и $\angle EAF = \angle FDE$. Докажите, что $\angle FAC = \angle EDB$.
Подробнее
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удаленной от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна $180^{\circ}$.
Подробнее
Докажите, что при $n \geq 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$ -угольник, не может являться правильным $(n + 1)$ - угольником.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена биссектриса $CD$. Прямая, перпендикулярная $CD$ и проходящая через центр описанной около треугольника $ABC$ окружности, пересекает $BC$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ параллельно $CD$, пересекает $AB$ в точке $F$. Докажите, что $BE = FD$.
Подробнее
Выпуклый многоугольник $M$ переходит в себя при повороте на угол $90^{\circ}$. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным $ \sqrt {2}$, один из которых содержит $M$, а другой содержится в $M$.
Подробнее
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием $a \times b$ и высотой $с (a, b$ и $с$ - натуральные числа) оклеена «по клеточка» без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными ребрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из четного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если с нечетно, то число способов оклейки четно.
Подробнее
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB, BC\:и CA$ в точках $M, N$ и $K$ соответственно. Прямая, проходящая через вершину $A$ и параллельная $NK$, пересекает прямую $MN$ в точке $D$. Прямая, проходящая через $A$ и параллельная $MN$, пересекает прямую $NK$ в точке $E$. Докажите, что прямая $DE$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$.
Подробнее