Строка $(i_{1}; i_{2}; \cdots; i_{n})$ составлена из $n$ первых натуральных чисел, расположенных в случайном порядке. Найти среднее число инверсий (беспорядков) в этой строке, если инверсией называть каждую пару чисел $i_{j} > i_{k}$, для которой $j < k$.
Подробнее
Два игрока A и В наблюдают за мальчиком, который без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасываний записываются последовательно с помощью букв: на k-м месте последовательности ставится буква О или буква Р в зависимости от того, что выпадает при k-м подбрасывании - «орел» или «решка» соответственно. Игрок A утверждает, что тройка ООО встретится в записи раньше, чем тройка ОРО. Игрок В поспорил, что произойдет обратное. Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре?
Подробнее
Три стрелка A, В, С решили одновременно драться на дуэли. Они расположились в вершинах равностороннего треугольника и условились о следующем: первый выстрел делает A, второй - B, третий - С и т. д. по кругу; если один из стрелков выбывает, то дуэль продолжается между двумя оставшимися. Известно, что стрелок A поражает цель с вероятностью 0,3, стрелок С - с вероятностью 0,5, а стрелок В вообще никогда не промахивается. Каждый стреляет в одного из двух других или в воздух с таким расчетом, чтобы с наибольшей вероятностью выиграть дуэль. Куда должен направить свой первый выстрел стрелок A: 1) в стрелка С; 2) в стрелка В: 3) в воздух?
Подробнее
Точка движется по ребрам куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Из любой вершины она может двигаться по одному из трех ребер (выходящих из этой вершины) наугад с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Вершины $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ отличаются тем, что, попав в любую из них, точка уже никуда не движется. Если точка начинает движение из вершины A, то с какой вероятностью она: 1) остановится в вершине $B^{\prime}$ 2) остановится в вершине $C^{\prime}$; 3) никогда не попадет ни в вершину $B^{\prime}$, ни в вершину $C^{\prime}$?
Подробнее
Найти предел
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + 2^{n} + \cdots + n^{n}}{n^{n}}$
Подробнее
Последовательность $\{x_{n} \} \subset \mathbf{R}$ имеет конечный предел $a \in \mathbf{R}$. Доказать, что
$\bigcap_{\alpha > 0} \bigcup_{\beta > 0} \bigcap_{n > \beta}(x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) = \{ a \}$.
Подробнее
Дана последовательность $a_{0} = 1, a_{n+1} = \sum_{i=0}^{n}a_{i}a_{n-i} (n \geq 0)$. Выразить в явном виде $a_{n}$ через $n$.
Подробнее
а) Найти предел последовательности $\{ x_{n} \}$, где
$x_{1} = \sqrt{9}, x_{2} = \sqrt{a + \sqrt{a}}, x_{3} = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a}}}, \cdots, a \geq 1$.
б) Доказать, что последовательность вида
$x_{n} = \sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \cdots + \sqrt{a_{n}}}}, a_{i} > 1$,
сходится, если
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} ln(ln a_{n}) < ln 2$.
Подробнее
Последовательность $\{ a_{n} \}$ задана условием $a_{n} = a_{n-1}(a_{n-1} - 1)$. При каких $a_{1}$ она сходится?
Подробнее
Последовательность $\{ x_{n} \}$ задана следующим образом: $x_{1} = a, x_{n+1} = (2x_{n}^{3}) / (3x_{n}^{2}-1)$ при $n \geq 1$. Найти все $a$, при которых последовательность $\{ x_{n} \}$ определена и имеет конечный предел.
Подробнее
Пусть $c_{0} > 0, c_{1} > 0$ и $c_{n+1} = \sqrt{c_{n}} + \sqrt{c_{n-1}}$ при $n \geq 1$. Доказать, что последовательность $\{ c_{n} \}$ сходится, и найти ее предел.
Подробнее
Доказать, что последовательность $\{ x_{n} \}$, заданная условием $x_{n+1} = x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{n^{2}}$ при $n \geq 1$, где $0 < x_{1} < 1$, ограничена.
Подробнее
Последовательности $\{ p_{n} \}$ и $\{ q_{n} \}$ заданы следующим образом:
$p_{-1} = 0, q_{-1}=1, p_{0} = q_{0} = 1$,
$p_{n} = 2p_{n-1} + (2n-1)^{2}p_{n-2}$,
$q_{n} = 2q_{n-1} + (2n - 1)^{2} q_{n-2}$, при $n \geq 1$. Доказать, что $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{\pi}{4}$.
Подробнее
Множество натуральных чисел разбито на два бесконечных подмножества $A$ и $B$. Доказать, что для любого $c > 0$ существуют последовательности $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ такие, что $\{ a_{n} \} \subset A, \{ b_{n} \} \subset B, \{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ возрастают и $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$.
Подробнее
Пусть $\{ a_{n} \}$ - непериодическая последовательность, составленная из нулей, единиц и двоек. Построим две последовательности $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ следующим образом:
$b_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$; $b_{n} = 1$, если $a_{n} = 1$ или $a_{n} = 2$;
$c_{n} = 1$, если $a_{n} = 2$; $c_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$ или $a_{n} = 1$;
Доказать, что хотя бы одна из последовательностей $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ непериодична.
Подробнее