Докажите тождество $ \frac {a_1}{a_2(a_1+a_2)}+ \frac {a_2}{a_3(a_2+a_3)}+\cdots+ \frac {a_n}{a_1(a_n+a_1)}= \frac {a_2}{a_1(a_1+a_2)}+ \frac {a_3}{a_2(a_2+a_3)}+\cdots+ \frac {a_1}{a_n(a_n+a_1)}$.
Подробнее
Даны три квадратных трехчлена: $P_1(x) = x^2 + p_1x + q_1, P_2(x) = x^2 + p_2x + q_2$ и $P_3(x) = x^2 + p_3x + q_3$. Докажите, что уравнение $|P_1(x)| + |P_2(x)| = |P_3(x)|$ имеет не более восьми корней.
Подробнее
Товарный поезд, отправившись из Москвы в $x$ часов $у$ минут, прибыл в Саратов в $у$ часов $z$ минут. Время в пути составило $z$ часов $x$ минут. Найдите все возможные значения $x$.
Подробнее
Известно, что $f(x), g(x)$ и $h(x)$ - квадратные трехчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x))) = 0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Подробнее
Решите уравнение $ \cos \cos \cos \cos x = \sin \sin \sin \sin x$.
Подробнее
Даны непостоянные многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
Подробнее
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще 10 чисел, причем все 20 чисел должны быть положительными и различными. Могли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трехчленов вида $x^2 + px + q$, среди коэффициентов $p$ и $q$ которых встречались бы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
Подробнее
Существует ли такое конечное множество $M$ ненулевых действительных чисел, что для любого натурального $n$ найдется многочлен степени не меньше $n$ с коэффициентами из множества $M$, все корни которого действительны и также принадлежат $M$?
Подробнее
Пусть $P(x)$ - квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что для любых действительных чисел x и у справедливо неравенство $P((xy)^2) \leq P(x^2) \cdot P(y^2)$
Подробнее
Существуют ли действительные числа $b$ и $с$ такие, что каждое из уравнений $x^2 + bx + с = 0$ и $2x^2 + (b +1)x + с + 1 = 0$ имеет по два целых корня?
Подробнее
Решите в целых числах уравнение $(x^2 - у^2)^2 = 1 + 16y$.
Подробнее
Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2 + bx + с$ и $(a + 1)x^2 + (b + 1)x + (c +1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Подробнее
Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x^2 + px + q,$ где $p, q$ - целые, $1 \leq p \leq 1997, 1 \leq q \leq 1997$. Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Подробнее
Докажите, что при любом натуральном $n$ справедливо неравенство
$ \sum_{k=1}^{n^2} \{ \sqrt {k} \} \leq \frac {n^2-1}{2}$
($\{k \}$ - дробная часть числа $k$).
Подробнее
Для некоторых положительных чисел $x$ и $у$ выполняется неравенство $x^2 + у^3 \geq x^3 + у^4$. Докажите, что $x^3 + y^3 \leq 2$.
Подробнее