Жидкость вращается в цилиндре кругового сечения с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найдите форму воронки, образующейся на поверхности жидкости, если на расстоянии $r$ от оси частица жидкости вращается со скоростью $v = \omega r$. Покажите, что циркуляция жидкости, отнесенная к единице площади, т. е. $rot \vec{v}$, равна удвоенной угловой скорости вращения жидкости.
Подробнее
Шар массы $m$ и радиуса $a$ движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна
$\frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right ) v^{2}$,
где $M$ - масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?
Подробнее
Если шар радиуса $a$ движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
Подробнее
Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если $r$ - расстояние от оси трубки, $\eta$ - коэффициент вязкости, а $\frac{P_{1} - P_{2}}{L}$ - перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением
$v(r) = \frac{1}{4 \eta} \frac{P_{1} - P_{2}}{L} (a^{2} - r^{2})$.
Пр аналогии с законом Ома пропускную способность трубки $Q$ можно связать с перепадом давления $\Delta P = P_{1} - P_{2}$ соотношением
$\Delta P = QR$,
где $R$ - сопротивление трубки. Найдите сопротивление $R$ для трубок радиуса $a$ и длины $L$. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
Подробнее
Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью $\eta$). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии $d$ от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше $d$. Доска движется горизонтально с малой скоростью $v$. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?
Подробнее
Частица массой $m_{1}$ и импульсом $P_{1}$ упруго сталкивается с частицей массой $m_{2}$, которая первоначально находилась в покое.
а) Определите максимально возможный импульс частицы $m_{2}$ в лабораторной системе отсчета после столкновения. (Используйте формулы релятивистской теории.)
б) Примените полученный результат к случаю столкновения протона, импульс которого равен отношению энергии покоя протона к скорости света с, с неподвижным электроном. Найдите численное значение максимального импульса электрона в МэВ/с после столкновения.
Подробнее
На гладкой ровной поверхности обыкновенного стола лежит тонкий однородный стержень массой $m$ и длиной $L$. На конце стержня перпендикулярно его оси действует импульс силы $F$, направленный горизонтально.
а) На какое расстояние передвинется центр масс стержня за время полного своего оборота?
б) Чему равны энергии поступательного и вращательного движений стержня и его полная ч кинетическая энергия после воздействия импульса силы? 4
Подробнее
Однородная балка массой $m$ и длиной $L$ поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружинами с жесткостью $k$. Балку приводят в движение, нажимая на один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобразите нормальные моды.
Подробнее
В северном полушарии на широте $45^{ \circ}$ с высоты $h$ ($h$ много меньше радиуса Земли) падает покоившееся вначале тело массой $m$. В каком месте оно упадет относительно отвеса, опущенного из исходной точки? Не забудьте указать не только величину, но и направление смещения.
Подробнее
Упругая струна длиной $L$ подвешена между двумя опорами. Натяжение струны $T$, а ее линейная плотность $\rho$. Общая масса струны $M = \rho L$. Колебания струны возбуждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому участку длиной $a$ в середине струны поперечную скорость доопределите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.
Подробнее
Какой стала бы продолжительность суток на Земле, если Земля вращалась бы с такой скоростью, что тела на экваторе парили в невесомости?
Подробнее
а) Сколь огромную энергию пришлось бы затратить, чтобы «разнести» всю Землю (т. е. удалить все ее составные части на $\infty$)?
б) Предположим, что затем произошло бы быстрое (без потерь энергии на излучение) воссоединение разнесенных на бесконечность этих частей Земли. Расплавилась бы она? Свой ответ обоснуйте.
Подробнее
Частица массой $m$ движется в поле центральной силы с потенциалом $V(r) = Kr^{3}$ ($K > 0$).
а) Определите кинетическую энергию и момент импульса частицы при движении ее по круговой орбите (радиусом $a$).
б) Чему равен период такого кругового движения?
в) Каков период малых радиальных колебаний частицы относительно $r=a$, если ее движение под действием возмущений слегка отклонилось от кругового?
Подробнее
Полагают, что можно получить моноэнергетические фотоны высоких энергий путем рассеяния лазерного излучения на пучке быстрых электронов, выходящих из электронного ускорителя. Выведите формулу для максимальной энергии каждого из рассеиваемых фотонов в зависимости от энергии фотонов лазерного излучения и энергии электронов в пучке. Выполните численные расчеты в случае излучения рубинового лазера, которое рассеивается на электронах с энергией 20 ГэВ, получаемых от Стэнфордского линейного ускорителя.
Подробнее
Шарик массой $M$ и радиусом $a$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\delta$.
а) Определите ускорение центра масс шарика.
б) Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$, то через какой промежуток времени он вернется в исходную точку?
Подробнее