Точка удалена от прямой $MN$ на расстояние $a$. Данным радиусом $r$ описана окружность так, что она проходит через точку $A$ и касается прямой $MN$. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой $A$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике основание равно 48, а боковая сторона равна 30. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
Подробнее
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $BC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$. Докажите, что $EM$ - медиана треугольника $AED$ и найдите её длину, если $AB=7$, $CE=3$, $\angle ADB=\alpha$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 6. Биссектриса угла $ADC$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T$, $KT=3$. Найдите угол $BAD$.
Подробнее
На окружности радиуса 12 с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ - в точке $H$. Расстояние от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3. Найдите величину угла $AOB$.
Подробнее
Маленький тяжелый шарик влетает через отверстие внутри гладкой сферы той же массы, проходя на расстоянии $R/2$ от центра сферы ($R$ - радиус сферы). После влета шарика отверстие автоматически закрывается. Считая соударения между шариком и сферой абсолютно упругим, найти траектории шарики и центра сферы в той системе отсчета, в которой сфера первоначально покоилась. Определить параметры этих траекторий и отметить на них точки, в которых происходят соударения.
Подробнее
Каретка самописца с пером перемещается относительно бумаги в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$ и $y$ с помощью двух электромоторов. Мотор-$x$ может обеспечить максимальную величину скорости перемещения $v_{x \: max} = A$, а мотор-$y$ - скорость $v_{y \: max} = B$ соответственно. За какое минимальное время $T$ самописец сможет нарисовать замкнутую линию, образующую фигуру площадью $S$?
Подробнее
Наклонная плоская поверхность составляет с горизонтом небольшой угол $\alpha = 0,1$ рад и непрерывно движется - трясется. Скорость движения ее точек всегда направлена вдоль линии наискорейшего спуска, а постоянное по модулю ускорение а скачкообразно изменяется - в течение $t = 10^{-3} с$ оно направлено "вниз", затем в течение такого же промежутка времени оно направлено "вверх", потом снова "вниз" и так далее. На поверхности находится брусок, между ним и поверхностью есть трение, характеризующееся коэффициентом $\mu = 0,28$. Брусок соскальзывает вниз с установившейся средней скоростью $v = 0,1 м/с$. Какова величина ускорения $a$? Каковы максимальная и минимальная скорости бруска?
Подробнее
Протон, пролетая мимо первоначально покоившегося ядра неизвестного хи мического элемента, от клонился на угол $\beta = arccos \frac{4}{15}$, а величина скорости протона уменьшилась на 10 % (рис.). Найдите массовое число химического элемента.
Подробнее
Каков максимальный угол $\theta$ упругого рассеяния $\alpha$ - частицы в водороде? Масса атома водорода в 4 раза меньше массы $\alpha$-частицы.
Подробнее
Одна окружность находится внутри другой. Их радиусы равны 28 и 12, а кратчайшее расстояние между точками этих окружностей равно 10. Найдите расстояние между центрами.
Подробнее
Дан угол с вершиной $O$, равный $\alpha$. На одной его стороне взята точка $M$ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке $N$. Точно так же в точке $K$ на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке $P$. Пусть $B$ - точка пересечения прямых $NP$ и $KP$, а $A$ - точка пересечения прямых $OB$ и $NP$. Найдите $OA$, если $OM=a$, $OP=b$.
Подробнее
На окружности радиуса 12 с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ - в точке $H$. Расстояние от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3. Найдите величину угла $AOB$.
Подробнее
Площадь ромба $ABCD$ равна 2. В треугольник $ABD$, образованный сторонами $AB,AD$ и диагональю $BD$ данного ромба, вписана окружность, которая касается стороны $AB$ в точке $K$. Через точку $K$ проведена прямая $KL$, параллельная диагонали $AC$ ромба (точка $L$ лежит на стороне $BC$). Найдите угол $BAD$, если известно, что площадь треугольника $KLB$ равна $a$.
Подробнее
Хорды $AB$ и $AC$ равны между собой, угол $BAC$ равен $30^{\circ}$. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена внутри этого угла, к площади всего круга.
Подробнее