На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник $m \times n$ клеток. Какой максимальной длины несамопересекающийся путь можно провести по линиям сетки на прямоугольнике из угла прямоугольника в угол, ему противоположный?
Подробнее
Волшебный замок имеет в плане вид, изображенный на рис. Известно, что три двери открыты, а три закрыты. Если человек или волшебник проходит через любую из дверей, то тут же открытые двери закрываются, а закрытые - открываются. Хоттабыч хочет войти в замок, побывать во всех комнатах замка по одному разу и выйти из него. Если он вырывает волосок из своей бороды, то все открытые двери закрываются, а закрытые - открываются. Доказать, что Хоттабыч всегда сможет выполнить свою задачу (независимо от того, какие именно двери были первоначально открыты), затратив не более двух волосков из своей бороды.
Подробнее
В 1964 г. начинает издаваться альманах «Юный физик», который будет выпускаться нерегулярно, но не реже, чем 5 номеров в 3 года. Докажите, что если альманах будет издаваться достаточно долго, то в некотором году его номер совпадет с годом.
Подробнее
Из одинаковых равносторонних треугольников черного и белого цвета сложен большой равносторонний треугольник, причем каждый из черных треугольников граничит по стороне лишь с четным числом белых треугольников, а каждый белый треугольник - с нечетным числом белых треугольников. Доказать, что маленькие треугольники, стоящие в вершинах большого треугольника, обязаны быть одного и того же цвета (рис.).
Подробнее
Из вершины А квадрата ABCD проведена прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к стороне AD равен $\frac{k}{p}$ ($k$ и $p$ - натуральные числа). Точка $A_{1}$ пересечения этой прямой с границей квадрата ортогонально проектируется в точку $A_{2}$ на противоположной стороне квадрата. Из точки $A_{2}$ проводится прямая, параллельная прямой $AA_{1}$, вновь до пересечения с границей квадрата в точке $A_{3}$. Точка $A_{3}$ ортогонально проектируется на противоположную сторону квадрата в точку $A_{4}$ и т. д.
На сколько частей проведенные прямые разобьют квадрат?
Подробнее
На плоскости расположены $n$ окружностей ($n \geq 5$). Известно, что любые три из них имеют общую точку. Доказать, что и все $n$ окружностей имеют общую точку.
Подробнее
Космонавты К, Е и Ф соревнуются в космическом многоборье. В каждом виде соревнований победитель получает А очков, занявший второе место - В очков, последний - С очков. А, В и С - натуральные числа. После окончания всех соревнований К получил 22 очка, Е и Ф - по 9 очков. Соревнование на быстроту реакции выиграл Е. Кто был вторым в соревновании на выносливость?
Подробнее
50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найти наименьшее возможное число убитых.
Подробнее
Али-Баба хочет попасть в пещеру с сокровищами. Перед пещерой стоит бочка, в крышке которой имеются 4 отверстия, образующие квадрат. Под отверстиями находится по кувшину, в каждом из которых торчит селедка хвостом вверх либо вниз.
Али-Баба может просунуть руки в любые два отверстия, определить положение расположенных под ними селедок и повернуть одну или обе по своему усмотрению. Если хвосты всех селедок окажутся направленными в одну сторону, то дверь пещеры открывается.
После того, как Али-Баба вытащит руки из отверстий, бочка быстро поворачивается и останавливается, причем Али-Баба не в состоянии определить новое положение бочки по отношению к старому.
Существует ли способ действий, позволяющий Али-Бабе за несколько попыток наверняка открыть дверь?
Подробнее
Дан выпуклый 1970-угольник. Рассматриваются все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что всякая точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом указанных треугольников.
Подробнее
Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Подробнее
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее
На прямой стоят две фишки, слева - красная, справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю - слева?
Подробнее
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого?
Комментарий. Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.
Подробнее
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.
Подробнее