Вершины тетраэдра $KLMN$ лежат внутри, на гранях или на ребрах другого тетраэдра $ABCD$. Докажите, что сумма длин всех ребер тетраэдра $KLMN$ меньше 4/3 суммы длин всех ребер тетраэдра $ABCD$.
Подробнее
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов пространственного четырехугольника $AXBY$, т. е. величина
$\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX$,
не зависит от выбора точек $X$ и $Y$.
Подробнее
В четырехугольной пирамиде $SABCD$ основание $ABCD$ имеет своей осью симметрии диагональ $AC$, длина которой равна 9 см, а точка $E$ пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$ делит отрезок $AC$ так, что длина отрезка $AE$ меньше длины отрезка $EC$. Через середину бокового ребра пирамиды $SABCD$ проведена плоскость, параллельная основанию и пересекающаяся с ребрами $SA, SB, SC, SD$ соответственно в точках $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}, D^{ \prime}$. Получившийся многогранник $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$, являющийся частью пирамиды $SABCD$, пересекается плоскостью $\alpha$ по правильному шестиугольнику, длина стороны которого равна 2 см. Найти площадь треугольника $ABD$, если плоскость а пересекает отрезки $BB^{ \prime}$ и $DD^{ \prime}$.
Подробнее
На плоскости $\alpha$, проходящей через центр шара радиуса $R$, задана окружность с центром $O_{1}$ и радиусом $r_{1}$, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой $A$, принадлежащей шару и удаленной от плоскости $\alpha$ на расстояние $R$. Множество отличных от $A$ точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса $r_{2}$, плоскость которой образует угол $\phi$ с плоскостью $\alpha$. Найти расстояние между точками $A$ и $O_{1}$:
Подробнее
В основании пирамиды $SABCD$ лежит четырехугольник $ABCD$, у которого стороны $AD$ и $BC$ параллельны, длина стороны $AB$ равна 4 см, длина стороны $BC$ равна 8 см, а величина угла $ABC$ равна $60^{ \circ}$. Длина ребра $SB$ равна $8 \sqrt{2}$ см. Найти объем пирамиды, если известно, что через прямые $AD$ и $BC$ можно провести две плоскости, не совпадающие с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным четырехугольникам.
Подробнее
Сфера касается ребер $AS, BS, BC$ и $AC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $K, L, M$ и $N$ соответственно. Найти длину отрезка $KL$, если $MN = 7 см, NK = 5 см, LN = 2 \sqrt{29} см$ и $KL = LM$.
Подробнее
Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равен $arccos \frac{ \sqrt{35} }{10}$. Точки $E$ и $F$ являются серединами отрезков $AB$ и $CD$. Найти угол $ACB$, если известно, что $AB = 2 \sqrt{5}, CD = 2 \sqrt{7}$ и $EF = \sqrt{13}$
Подробнее
Отрезок $PQ$ параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник $KLMN$, причем $KL = 1, PQ = 3$. Все стороны прямоугольника $KLMN$ и отрезки $KP, LP, NQ, MQ, PQ$ касаются некоторого шара. Найти объем этого шара.
Подробнее
Найти наименьшее из значений $x$, для которых существуют числа $y, z$, удовлетворяющие уравнению
$x^{2} + 2y^{2} + z^{2} + xy - xz - yz = 1$.
Подробнее
Многогранник имеет 6 граней $ABCK, EMPH, ABME, BCPM, CKHP, AKHE$. Все его вершины лежат на сфере радиуса $\sqrt{34}$. Грани $ABCK$ и $EMPH$ лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно 2. Известно, что $AB : CK = EM : PH \neq 1$, площадь грани $EMPH$ равна 5, а объем многогранника равен $\frac{98}{15}$. Найти длину ребра $BM$.
Подробнее
Все ребра тетраэдра $ABCD$ имеют равную длину. На ребрах $AB, AC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $K, L, M$ так, что длина отрезка $KB$ равна 15, а длина отрезка $MD$ равна 10. Известно, что радиус шара, вписанного в тетраэдр $ABCD$, равен $\frac{5}{2} \sqrt{6}$, а объем пирамиды $AKLM$ равен $375 \sqrt{2}$. Найти сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду $AKLM$ и описанного около нее.
Подробнее
В пространстве заданы четыре точки: $A, B, C$ и $D$. Требуется провести плоскость $S$ так, чтобы точки $A$ и $C$ оказались по одну сторону от нее, а точки $B$ и $D$ - по другую и расстояния от всех четырех точек $A, B, C$ и $D$ до плоскости $S$ были равны.
Подробнее
Каждой из вершин треугольной призмы поставлено в соответствие по числу так, что число, соответствующее любой из вершин, равно среднему арифметическому чисел, которые стоят у противоположных концов ребер, сходящихся в данной вершине. Доказать, что все шесть чисел, соответствующих вершинам призмы, равны.
Подробнее
Три окружности в пространстве попарно касаются друг друга, причем все три точки касания различны. Доказать, что эти окружности лежат либо на одной сфере, либо в одной плоскости. (Мы говорим о касании двух окружностей в пространстве, если у них есть общая точка и общая касательная в этой точке.).
Подробнее
Доказать, что, кроме тетраэдра, не существует ни одного выпуклого многогранника которого любая вершина была бы соединена ребрами со всеми остальными.
Подробнее