На какое максимальное число конгруэнтных кусков можно разрезать сферу так, чтобы каждая сторона каждого куска представляла собой дугу окружности большого круга, которая меньше четверти такой окружности?
Подробнее
Не могли бы вы, проведя единственный прямой разрез, сложить из прямоугольного почтового конверта два конгруэнтных тетраэдра.
Подробнее
Рассмотрим тетраэдр, определяемый двумя отрезками, которые принадлежат скрещивающимся прямым. Докажите, что объем тетраэдра не изменится, если мы сдвинем наши отрезки (не меняя их длин) вдоль соответствующих прямых.
Подробнее
Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime} D^{ \prime}$ со стороной основания $2 \sqrt{2}$ и высотой $4 \sqrt{5}$. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины $A, C$ и середину ребра $AB^{ \prime}$.
Подробнее
Высота прямой призмы $ABCA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равна 18. Основание призмы - треугольник $ABC$, площадь которого равна 12, $AB =5$. Найдите тангенс угла между плоскостью $ABC^{ \prime}$ и плоскостью основания призмы.
Подробнее
Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 8 и 6, угол между ними равен $90^{ \circ}$, боковое ребро равно 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Подробнее
Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны $3 \sqrt{2}$ и $6 \sqrt{2}$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный $45^{ \circ}$. Найдите объем усеченной пирамиды.
Подробнее
Докажите, что бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Подробнее
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу $60^{ \circ}$. Диагональ полученного сечения равна $2 \sqrt{6}$ и удалена от оси цилиндра на расстояние $\sqrt{6}$. Найдите объем цилиндра.
Подробнее
Длина дуги развертки боковой поверхности конуса равна $4 \pi \sqrt{15}$, а угол развертки равен $90^{ \circ}$. Найдите объем конуса.
Подробнее
Докажите, что объем тетраэдра равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус вписанного шара.
Подробнее
У правильных тетраэдра и октаэдра длины ребер равны. Найдите отношение их объемов, не вычисляя объема каждого из данных многогранников.
Подробнее
Покажите, что пространство можно заполнить кристаллической структурой, ячейки которой имеют форму правильных октаэдров и тетраэдров. (Под кристаллической структурой мы понимаем здесь такое разбиение пространства на ячейки, которое получается периодическим повторением одной и той же исходной комбинации ячеек.)
Подробнее
Покажите, что у любого (не обязательно правильного) тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
Подробнее
Докажите, что в правильном тетраэдре прямые, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются между собой под прямыми углами.
Подробнее
