Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь правильного тетраэдра с ребром длины 1.
Подробнее
Назовём грань описанного около шара многогранника большой, если она содержит ортогональную проекцию шара на плоскость этой грани. Докажите, что в любом многограннике больших граней не более шести.
Подробнее
В комнату с высотой потолка 2 м 10 см основанием вперёд вносят шкаф размером $0,7 \times 1,5 \times 2$ м. Удастся ли его поставить? (Основание шкафа - $0,7 \times 1,5$ м.)
Подробнее
Каждая грань выпуклого многогранника является либо правильным треугольником, либо правильным шестиугольником, причём тех и других поровну. Найдите все такие многогранники.
Подробнее
Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь куба с ребром длины 1.
Подробнее
Для треугольной пирамиды определяются три числа: $R_{0}$ - радиус описанного шара, $R_{b}$ - радиус наименьшего шара, вмещающего в себя эту пирамиду, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что шары радиуса $R$ с центрами в вершинах пирамиды в сумме полностью nov крывают пирамиду. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Подробнее
В основании четырехгранной пирамиды - ромб с углом $60^{ \circ}$ при вершине А. Боковое ребро, выходящее из вершины А, равно стороне ромба. Доказать, что из остальных боковых ребер можно составить прямоугольный треугольник.
Подробнее
Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром $a$. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?
Подробнее
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых $A$, параллельными переносами, переводящими $A$ в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).
Подробнее
Можно ли ребра $n$ -угольной призмы раскрасить в 3 цвета так, чтобы на каждой грани были все 3 цвета и в каждой вершине сходились ребра разных цветов, если а) $n = 1995$; б) $n = 1996$.
Подробнее
Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно ни одной из его вершин?
Подробнее
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Подробнее
Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?
Подробнее
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?
Подробнее
Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета. Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.
Подробнее