На окружности с центром $O$ радиуса 1 от точки $A_{0}$ отложим точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{999}, A_{1000}$ так, что $\hat{A_{0}OA_{k}} = k$ (в радианной мере). Затем окружность в точках $A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{1000}$ разрезается. Сколько различных по длине дуг при этом получится?
Подробнее
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $\frac{5}{2}$.
Подробнее
Сторона ромба $ABCD$ равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.
Подробнее
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если
а) AM = CN; б) BM = BN ?
Подробнее
Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой $l$ так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная $l$, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой $l$ так, чтобы другие их катеты лежали на прямой $l$, то также найдется прямая, параллельная $l$, пересекающая их по равным отрезкам.
Подробнее
На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC — точки N и M соответственно так, что AE = NE и CE = ME. Пусть K — точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.
Подробнее
На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.
Подробнее
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями $EK \parallel AD, FK \parallel AB$, лежит на отрезке MN.
Подробнее
Дан правильный $2n$-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Подробнее
Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая $l$, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой $l$, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если $D \neq E$, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой $l$. Найдите геометрическое место точек P и T.
Подробнее
Города A, B, C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше расстояния от D до A, а расстояние от C до B меньше расстояния от D до B. Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B, меньше расстояния от города D до этой точки.
Подробнее
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность $S_{1}$ с центром $O_{1}$ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность $S_{2}$ такого же радиуса с центром $O_{2}$ касается сторон угла MLP, причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка $O_{1}$ лежит на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых $O_{2}D$ и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD.
Подробнее
Окружность с центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF -в точке N, а прямые BK и CN -в точке M. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC -стороне DE. Докажите, что если $AB = AE = ED = 1$, то $BC + CD < 1$.
Подробнее
Биссектриса угла $ABC$ образует с его стороной угол, который равен углу, смежному с углом $ABC$. Найдите градусную меру угла $ABC$.
Подробнее