В математическом кружке принимают участие 100 школьников. Известно, что среди любых четырех участников кружка всегда найдется, по меньшей мере, один, знакомый с остальными тремя. Доказать, что существует участник кружка, знакомый со всеми остальными 99 школьниками. Каким может быть число школьников, знакомых со всеми остальными?
Подробнее
Человек идет по шпалам железной дороги. Максимальная длина его шага 0,8 м. Шпалы уложены так, что на любом стометровом участке ровно 200 шпал. Расстояние между шпалами не меньше 0,3 м и не больше 0,6 м и может меняться в этих пределах от шпалы к шпале. При какой укладке шпал человек сделает максимальное число шагов на 1 км пути, а при какой минимальное?
Подробнее
На уроке физкультуры учитель расставил школьников на прямой тропинке. По сигналу учителя дети бегут к тому из школьников, на которого покажет учитель, а потом на свои места. Докажите, что после нескольких таких пробежек наибольшее расстояние пробежит один из крайних школьников.
Подробнее
Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади прямоугольный плот может пройти По этому каналу?
Подробнее
На плоскости рассматриваются самонепересекающиеся многоугольники, все стороны которых выражаются целыми числами, а углы прямые. Найти величину, наибольшей и наименьшей площади таких многоугольников, если все они имеют один и тот же данный периметр, равный $4n$ ($n$ - целое).
Подробнее
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник $m \times n$ клеток. Какой максимальной длины несамопересекающийся путь можно провести по линиям сетки на прямоугольнике из угла прямоугольника в угол, ему противоположный?
Подробнее
Волшебный замок имеет в плане вид, изображенный на рис. Известно, что три двери открыты, а три закрыты. Если человек или волшебник проходит через любую из дверей, то тут же открытые двери закрываются, а закрытые - открываются. Хоттабыч хочет войти в замок, побывать во всех комнатах замка по одному разу и выйти из него. Если он вырывает волосок из своей бороды, то все открытые двери закрываются, а закрытые - открываются. Доказать, что Хоттабыч всегда сможет выполнить свою задачу (независимо от того, какие именно двери были первоначально открыты), затратив не более двух волосков из своей бороды.
Подробнее
В 1964 г. начинает издаваться альманах «Юный физик», который будет выпускаться нерегулярно, но не реже, чем 5 номеров в 3 года. Докажите, что если альманах будет издаваться достаточно долго, то в некотором году его номер совпадет с годом.
Подробнее
Из одинаковых равносторонних треугольников черного и белого цвета сложен большой равносторонний треугольник, причем каждый из черных треугольников граничит по стороне лишь с четным числом белых треугольников, а каждый белый треугольник - с нечетным числом белых треугольников. Доказать, что маленькие треугольники, стоящие в вершинах большого треугольника, обязаны быть одного и того же цвета (рис.).
Подробнее
Космонавты К, Е и Ф соревнуются в космическом многоборье. В каждом виде соревнований победитель получает А очков, занявший второе место - В очков, последний - С очков. А, В и С - натуральные числа. После окончания всех соревнований К получил 22 очка, Е и Ф - по 9 очков. Соревнование на быстроту реакции выиграл Е. Кто был вторым в соревновании на выносливость?
Подробнее
50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найти наименьшее возможное число убитых.
Подробнее
Али-Баба хочет попасть в пещеру с сокровищами. Перед пещерой стоит бочка, в крышке которой имеются 4 отверстия, образующие квадрат. Под отверстиями находится по кувшину, в каждом из которых торчит селедка хвостом вверх либо вниз.
Али-Баба может просунуть руки в любые два отверстия, определить положение расположенных под ними селедок и повернуть одну или обе по своему усмотрению. Если хвосты всех селедок окажутся направленными в одну сторону, то дверь пещеры открывается.
После того, как Али-Баба вытащит руки из отверстий, бочка быстро поворачивается и останавливается, причем Али-Баба не в состоянии определить новое положение бочки по отношению к старому.
Существует ли способ действий, позволяющий Али-Бабе за несколько попыток наверняка открыть дверь?
Подробнее
Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Подробнее
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее
Найдите $x_{1000}$, если $x_1 = 4, x_2 = 6$, и при любом натуральном $n \geq 3 x_n$ - наименьшее составное число, большее $2x_{n-1} - x_{n-2}$.
Подробнее