Нижний конец вертикального стержня заделан, а к его верхнему свободному концу приложена сила. Длина стержня равна $L$. Поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника со сторонами $t$ (толщина) и $w$ (ширина). Определите силу, приводящую к показанной на рисунке деформации стержня.
Подробнее
Шар массы $m$ и радиуса $a$ движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна
$\frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right ) v^{2}$,
где $M$ - масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?
Подробнее
Если шар радиуса $a$ движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
Подробнее
Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если $r$ - расстояние от оси трубки, $\eta$ - коэффициент вязкости, а $\frac{P_{1} - P_{2}}{L}$ - перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением
$v(r) = \frac{1}{4 \eta} \frac{P_{1} - P_{2}}{L} (a^{2} - r^{2})$.
Пр аналогии с законом Ома пропускную способность трубки $Q$ можно связать с перепадом давления $\Delta P = P_{1} - P_{2}$ соотношением
$\Delta P = QR$,
где $R$ - сопротивление трубки. Найдите сопротивление $R$ для трубок радиуса $a$ и длины $L$. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
Подробнее
Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью $\eta$). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии $d$ от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше $d$. Доска движется горизонтально с малой скоростью $v$. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?
Подробнее
На гладкой ровной поверхности обыкновенного стола лежит тонкий однородный стержень массой $m$ и длиной $L$. На конце стержня перпендикулярно его оси действует импульс силы $F$, направленный горизонтально.
а) На какое расстояние передвинется центр масс стержня за время полного своего оборота?
б) Чему равны энергии поступательного и вращательного движений стержня и его полная ч кинетическая энергия после воздействия импульса силы? 4
Подробнее
Однородная балка массой $m$ и длиной $L$ поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружинами с жесткостью $k$. Балку приводят в движение, нажимая на один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобразите нормальные моды.
Подробнее
В северном полушарии на широте $45^{ \circ}$ с высоты $h$ ($h$ много меньше радиуса Земли) падает покоившееся вначале тело массой $m$. В каком месте оно упадет относительно отвеса, опущенного из исходной точки? Не забудьте указать не только величину, но и направление смещения.
Подробнее
Упругая струна длиной $L$ подвешена между двумя опорами. Натяжение струны $T$, а ее линейная плотность $\rho$. Общая масса струны $M = \rho L$. Колебания струны возбуждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому участку длиной $a$ в середине струны поперечную скорость доопределите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.
Подробнее
Шарик массой $M$ и радиусом $a$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\delta$.
а) Определите ускорение центра масс шарика.
б) Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$, то через какой промежуток времени он вернется в исходную точку?
Подробнее
На шероховатой плоскости, наклоненной под углом $\theta$ ($tg \theta = \mu$, где $\mu$ - коэффициент трения как покоя, так и скольжения), расположена частица. К частице прикреплена нить, проходящая через небольшое отверстие в наклонной плоскости. Нить очень медленно подтягивают, и можно считать, что частица все время находится в почти статическом равновесии. Определите траекторию частицы на наклонной плоскости.
Подробнее
Стержень массой $M$ и длиной $L$ свободно падает в вертикальной плоскости, как показано на рисунке. В начальном состоянии покоя стержень составлял с горизонталью угол $30^{ \circ}$. Определите давление на ось вращения стержня в тот момент, когда он проходит горизонтальное положение.
Подробнее
Предположим, что приливные волны на Земле вызываются только Солнцем.
а) Откуда черпается энергия, рассеиваемая во время приливов, и чему равна максимальная величина этой энергии?
б) Какие процессы обеспечивают сохранение суммарного момента импульса системы?
Подробнее
Формула для кориолисовой силы имеет вид
$\vec{F} = - 2 m \vec{ \omega} \times \vec{v}$.
а) В каком случае применйют эту формулу и какой смысл имеют входящие в нее символы?
б) Река в северном полушарии течет к югу. Ширина русла реки на широте $\lambda$ равна $W$. Уровни воды на восточном и западном берегах реки должны быть различными. Какой из них будет выше?
в) Выведите формулу для разности уровней, подробно поясняя значение каждого используемого в ней символа.
г) Оцените весьма приближенно эту разность уровней для реки Миссисипи). Укажите числовые данные, которые вы приписали (пусть даже по догадке) различным параметрам.
Подробнее
Брусок массой $M$ лежит на идеально гладком горизонтальном столе и посредством пружин, характеризуемых жесткостью $k_{1}$ и $k_{2}$, связан с двумя неподвижными опорами.
а) Какова будет частота продольных колебаний бруска, если его слегка вывести из равновесного положения? Предположим, что амплитуда колебаний бруска равна $A$ и в тот момент, когда он проходит положение равновесия, к нему прилипает упавший сверху груз массой $m$. Определите:
б) новую частоту колебаний,
в) новую амплитуду колебаний.
Подробнее