Последовательность натуральных чисел ${a_i}$ такова, что $\:НОД(а_i,а_j) = НОД(i,j)$ для всех $i \neq j$. Докажите, что $a_i = i$ для всех $i \in N$. (Через $(m, n)$ обозначен наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$).
Подробнее
Даны полуокружность с диаметром $AB$ и центром $O$ и прямая, пересекающая полуокружность в точках $C$ и $D$, а прямую $AB$ - в точке $M (MB < MA, MD < MC)$. Пусть $K$ - вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AOC$ и $DOB$. Докажите, что угол $MKO$ прямой.
Подробнее
Даны непостоянные многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
Подробнее
Могут ли все числа $1,2,3,\cdots, 100$ быть членами 12 геометрических прогрессий?
Подробнее
Докажите, что любую функцию, определенную на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Подробнее
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки - точки пересечения построенных линий. Пусть $Ц(n)$ - наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии $n$, $n$ - натуральное. $ЛЦ(n)$ - то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность $Ц(n)/ЛЦ(n)$ неограничена.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $а_1 > 1$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, а_3, \cdots$ такая, что $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}$ делится на $а_1 + а_2 + \cdots + a_k$ при всех $k \geq 1$.
Подробнее
На карусели с $n$ сиденьями мальчик катался $n$ сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовем длиной перехода. При каких $n$ за $n$ сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех $n - 1$ переходов различны и меньше $n$?
Подробнее
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Подробнее
Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?
Подробнее
Центры $O_1 , O_2 $ и $O_3$ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек $O_1, O_2$ и $O_3$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Подробнее
Пусть натуральные числа $x, у, p, n$ и $к$ таковы, что $x^n + y^n = p^k$. Докажите, что если число $n (n > 1)$ нечетное, а число $p$ нечетное простое, то $n$ является степенью числа $p$ (с натуральным показателем).
Подробнее
В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырех общих членов.
Подробнее
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Подробнее