Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
Подробнее
Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.
Подробнее
Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.
Подробнее
Точка $K$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Докажите, что соотношение $AK^{2}=AB\cdot AC-KB\cdot KC$ выполнено тогда и только тогда, когда $AB=AC$ или $\angle BAK=\angle CAK$.
Подробнее
$AB$ и $AC$ - касательные к окружности с центром $O$, $M$ - точка пересечения прямой $AO$ с окружностью; $DME$ - отрезок касательной, проведённой через точку $M$, между $AB$ и $AC$. Найдите $DE$, если радиус окружности равен 15, а расстояние $AO$ равно 39.
Подробнее
Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанной окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.
Подробнее
Две окружности радиуса $r$ касаются большей окружности радиуса $R$ - одна изнутри, другая извне, причём градусная мера дуги между точками касания равна $60^{\circ}$. Найдите расстояние между центрами меньших окружностей.
Подробнее
Точка удалена от прямой $MN$ на расстояние $a$. Данным радиусом $r$ описана окружность так, что она проходит через точку $A$ и касается прямой $MN$. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой $A$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике основание равно 48, а боковая сторона равна 30. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
Подробнее
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $BC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$. Докажите, что $EM$ - медиана треугольника $AED$ и найдите её длину, если $AB=7$, $CE=3$, $\angle ADB=\alpha$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 6. Биссектриса угла $ADC$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T$, $KT=3$. Найдите угол $BAD$.
Подробнее
На окружности радиуса 12 с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ - в точке $H$. Расстояние от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3. Найдите величину угла $AOB$.
Подробнее
Каретка самописца с пером перемещается относительно бумаги в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$ и $y$ с помощью двух электромоторов. Мотор-$x$ может обеспечить максимальную величину скорости перемещения $v_{x \: max} = A$, а мотор-$y$ - скорость $v_{y \: max} = B$ соответственно. За какое минимальное время $T$ самописец сможет нарисовать замкнутую линию, образующую фигуру площадью $S$?
Подробнее