Небольшое тело массы $m$ движется под влиянием гравитационного притяжения по эллиптической орбите вокруг массивного тела массы $M$. Тяжелое тело можно считать неподвижным. Большая полуось орбиты равна $a$, ее эксцентриситет равен $e$. Вычислите полную энергию тела $E$ (кинетическую плюс потенциальную). Обратите внимание на то, что результат не зависит от эксцентриситета.
Подробнее
а) Покажите, что площадь эллипса равна $\pi ab$.
б) Получите третий закон Кеплера для эллиптических орбит.
в) Покажите, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуют равным периодам обращения. (Для простоты предполагайте, что $m \ll M$.)
Подробнее
Скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло гравитационное поле Земли, равна примерно 11 км/сек. Если межпланетный корабль после сгорания всего топлива (при выходе из атмосферы) двигался со скоростью 12 км/сек, какова будет его скорость на расстоянии $10^{6}$ км от Земли?
Подробнее
Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 км/сек относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 км/сек.
Подробнее
Требуется вывести космический корабль на околосолнечную орбиту с перигелием 0,01 А.Е. и тем же периодом обращения по орбите, который имеет Земля (1 год). С какой скоростью и в каком направлении относительно линии Земля-Солнце нужно запустить этот корабль с Земли? Орбитальная скорость Земли равна 30 км/сек.
Подробнее
Внутри сферического тела радиуса $R$ и плотности $\rho$ имеется сферическая полость радиуса $R/4$. Центр ее находится на расстоянии $R/4$ от точки С - центра большой сферы, на линии PC, соединяющей С с точкой Р, которая находится на расстоянии $X$ от поверхности большой сферы (см. рисунок). Найдите ускорение силы тяжести а в точке Р.
Подробнее
Проанализируйте работу «световых часов», которые ориентированы параллельно направлению своего движения. Схема этого устройства приведена на фиг. Не забудьте учесть лоренцево сокращение.
Подробнее
Производство электроэнергии Соединенными Штатами в 1962 г. составляло $2,15 \cdot 10^{12} квт \cdot ч$.
а) Какова масса вещества, превращенного при этом в энергию?
б) Представим себе, что вся эта энергия вырабатывалась бы за счет превращения дейтерия в гелий, причем разность масс использовалась бы целиком (в действительности часть ее идет на испускание нейтрино). Сколько тяжелой воды пришлось бы расходовать ежесекундно для обеспечения такого годового производства энергии?
Примечание. $M_{H^{2}} = 2,0147 а. е. м$,
$M_{He^{4} } = 4,0039 а. е. м$.
Подробнее
Мощность солнечного излучения, поглощаемая в земной атмосфере, составляет примерно $1,4 квт/м^{2}$. Если вся эта энергия получается на Солнце за счет превращения обычного водорода в гелий, то сколько же тонн водорода в секунду «сгорает» на Солнце? (Потерей на испускание нейтрино пренебрегите.)
Подробнее
Частица с массой покоя $m_{0}$ движется вдоль оси $x$ так, что ее положение в каждый момент времени задается формулой
$x = \sqrt{b^{2} + c^{2}t^{2} } - b$.
Чему равна сила, под действием которой частица совершает такое движение?
Подробнее
а) Выразите ускорение силы тяжести в единицах $свет.год/год^{2}$,
б) Космический корабль движется с таким ускорением, что его экипаж ощущает такую же постоянную силу тяжести, как на Земле. С точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно точки, в которой корабль находился в момент $t = 0$, такой разгон продолжается 5,00 лет. На какое расстояние улетит корабль за это время и какова будет его скорость в конце разгона?
Подробнее
Частица движется вдоль оси $x$ со скоростью $v_{x}$ и ускорением $a_{x}$. Система координат $S^{ \prime}$ движется по отношению к исходной со скоростью $v$. Чему равны скорость и ускорение частицы в этой системе?
Подробнее
Частица массы покоя $m_{0}$, движущаяся со скоростью $4c/5$, испытывает неупругое соударение с покоящейся частицей равной массы.
а) Чему равна скорость образовавшейся составной частицы?
б) Чему равна ее масса покоя?
Подробнее
Ускоритель «беватрон» в Беркли проектировался с таким расчетом, чтобы он мог разгонять протоны до энергии, достаточной для образования пар протон - антипротон в реакции $p + p \rightarrow p + p + ( p + \bar{p})$. Так называемая пороговая энергия этой реакции соответствует случаю, когда четыре частицы, перечисленные в правой части формулы реакции, движутся вместе как одна частица с массой покоя $M = 4m_{p}$. Если протоны мишени до соударения покоятся, чему равна пороговая кинетическая энергия бомбардирующих протонов?
Подробнее
Масса покоя протона составляет $m_{p} = 938 Мэв$. В космических лучах встречаются протоны с энергией порядка $10^{10} Гэв (1 Гэв=10^{3} Мэв)$; появление их удается определить с помощью разных косвенных методов. Пусть протон с такой энергией пересекает по диаметру Галактику. Длина этого диаметра равна $10^{5}$ световых лет. Сколько времени потребуется протону на это путешествие «с его точки зрения»?
Подробнее