Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 9593
2022-11-09 
Из 9 внешне неразличимых монет одна фальшивая - легче остальных. Имеются два экземпляра внешне неразличимых чашечных весов, из которых одни заедают (они чувствуют разницу лишь в том случае, если на одну чашку положить больше монет, чем на другую). За сколько взвешиваний можно наверняка выделить фальшивую монету?
Решение:
За три взвешивания. Известно, что, имея верные весы, мы можем за одно взвешивание найти более лёгкую фальшивую монету среди трёх настоящих. Занумеруем монеты от 1 до 9.
Сравним на первых весах кучки из монет 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8. Если весы не в равновесии, то найдены верные весы. Зная, какие весы верные, определим фальшивую монету за два взвешивания. Если весы в равновесии, то сравним на вторых весах кучки из монет 1-3 и 5-7. Если весы не в равновесии, то найдены верные весы и три монеты, среди которых есть фальшивая. За одно взвешивание определим эту монету. Если весы в равновесии, то или первые весы верные и 9-я монета фальшивая, или вторые весы верные и фальшивая среди 4, 8, 9.
Сравним на вторых весах 4-ю и 8-ю. Если весы не в равновесии, то мы нашли фальшивую монету. Иначе возможны варианты: вторые весы верные - тогда 4-я и 8-я настоящие, а 9-я фальшивая; первые весы верные, тогда фальшивая 9-я. Итак, в любом случае фальшивая 9-я.
Докажем, что фальшивую монету нельзя найти за два взвешивания. Пусть мы сделали два взвешивания. Можно считать, что каждый раз мы клали на левую и правую чашки весов монет поровну (иначе взвешивание бессмысленно). Пусть оба раза весы были в равновесии. Если хотя бы один раз мы клали на весы меньше 8 монет, то любая из оставшихся монет может быть фальшивой. Значит, оба раза надо класть по 4 монеты на каждую чашку. Пусть одни из весов не в равновесии. Тогда любая из 4 монет на более лёгкой чашке может быть фальшивой. Противоречие.
Из 9 внешне неразличимых монет одна фальшивая - легче остальных. Имеются два экземпляра внешне неразличимых чашечных весов, из которых одни заедают (они чувствуют разницу лишь в том случае, если на одну чашку положить больше монет, чем на другую). За сколько взвешиваний можно наверняка выделить фальшивую монету?
Решение:
За три взвешивания. Известно, что, имея верные весы, мы можем за одно взвешивание найти более лёгкую фальшивую монету среди трёх настоящих. Занумеруем монеты от 1 до 9.
Сравним на первых весах кучки из монет 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8. Если весы не в равновесии, то найдены верные весы. Зная, какие весы верные, определим фальшивую монету за два взвешивания. Если весы в равновесии, то сравним на вторых весах кучки из монет 1-3 и 5-7. Если весы не в равновесии, то найдены верные весы и три монеты, среди которых есть фальшивая. За одно взвешивание определим эту монету. Если весы в равновесии, то или первые весы верные и 9-я монета фальшивая, или вторые весы верные и фальшивая среди 4, 8, 9.
Сравним на вторых весах 4-ю и 8-ю. Если весы не в равновесии, то мы нашли фальшивую монету. Иначе возможны варианты: вторые весы верные - тогда 4-я и 8-я настоящие, а 9-я фальшивая; первые весы верные, тогда фальшивая 9-я. Итак, в любом случае фальшивая 9-я.
Докажем, что фальшивую монету нельзя найти за два взвешивания. Пусть мы сделали два взвешивания. Можно считать, что каждый раз мы клали на левую и правую чашки весов монет поровну (иначе взвешивание бессмысленно). Пусть оба раза весы были в равновесии. Если хотя бы один раз мы клали на весы меньше 8 монет, то любая из оставшихся монет может быть фальшивой. Значит, оба раза надо класть по 4 монеты на каждую чашку. Пусть одни из весов не в равновесии. Тогда любая из 4 монет на более лёгкой чашке может быть фальшивой. Противоречие.
