2014-06-08
Найти предел
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + 2^{n} + \cdots + n^{n}}{n^{n}}$
Решение:
Обозначим
$a_{n} = \frac{1 + 2 ^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{n}}{n^{n}}$
Имеем
$1 = \frac{n^{n}}{n^{n}} \leq a_{n} \leq \frac{n^{1} + n^{2} + n^{3} + \cdots + n^{n}}{n^{n}} = \frac{(n^{n+1} - n)/(n-1)}{n^{n}} = \frac{n^{n}-1}{n^{n}} \frac{n}{n-1} < \frac{n}{n-1}$
Так как $\frac{n}{n-1} \rightarrow 1$, то и $a_{n} \rightarrow 1 (n \rightarrow \infty)$.