2014-06-08
Два игрока A и В наблюдают за мальчиком, который без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасываний записываются последовательно с помощью букв: на k-м месте последовательности ставится буква О или буква Р в зависимости от того, что выпадает при k-м подбрасывании - «орел» или «решка» соответственно. Игрок A утверждает, что тройка ООО встретится в записи раньше, чем тройка ОРО. Игрок В поспорил, что произойдет обратное. Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре?
Решение:
За первой буквой О (с момента начала наблюдения за мальчиком с вероятностью I буква О хотя бы один раз появится) с одинаковой вероятностью, рангов 1/4, может следовать одна из комбинаций:
$PO, OO, PP, OP$.
В первом случае выигрывает игрок В, во втором случае выигрывает игрок А, а если реализовался третий случай, то после этого игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. В четвертом случае с вероятностью 1/2 последует буква О и выиграет игрок B а с вероятностью 1/2 последует буква Р, после чего игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. Таким образом, с вероятностью 1/4 выиграет А, с вероятностью $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ выиграет В и с вероятностью 3/8 возникнет ситуация, когда игроки будут иметь такие же шансы, как в начале игры. Поэтому игрок В имеет больше шансов выиграть, чем игрок А.