2014-06-08
На координатной плоскости отмечены $n \geq 3$ точек с целочисленными координатами так, что любые три из них образуют треугольник, медианы которого не пересекаются в точке с целочисленными координатами. Найти наибольшее число $n$, при котором это возможно.
б) В пространстве отмечены 37 различных точек с целочисленными координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что из них можно выбрать такие 3 точки, что координаты точки пересечения медиан образованного ими треугольника являются целыми числами.
Решение:
а) Если $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2}), (x_{3}; y_{3})$ - координаты вершин треугольника, то точка пересечения его медиан имеет координаты
$\left ( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}; \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \right )$.
Назовем точку $(x; y)$ точкой типа $(r_{1}; r_{2})$, если $r_{1}, r_{2}$ - остатки от деления на 3 чисел $x, y$ соответственно. Восемь точек, удовлетворяющих условию задачи, существуют. Достаточно взять эти точки такими: две точки типа $(0; 0)$, две - типа $(0; 1)$, две - типа $(1; 0)$ и две - типа $(1; 1)$. Кроме того, никакие три из них не должны лежать на одной прямой. Этим условиям удовлетворяют, например, следующие точки: $(0; 0), (0; 3), (3; 1), (3; 4), (1; 0), (4; 3), (1; 1), (7; 4)$. Предположим теперь, что существуют 9 точек, удовлетворяющих условию задачи. Разобьем эти 9 точек на группы одного типа. Тогда ни в одной из групп не содержатся 3 точки (иначе они образовали бы треугольник, в котором медианы пересекаются в целой точке). Поэтому всего групп имеется не менее пяти, а значит, среди наших 9 точек найдется 5 точек разного типа. Разобьем эти 5 точек на 3 группы в зависимости от остатка от деления на 3 первой координаты. Ни в одной из этих групп не содержатся 3 точки (действительно, если бы такие 3 точки существовали, то они имели бы соответственно тип $(r; 0), (r; 1), (r; 2)$ для некоторого $r$, а значит, образовали бы треугольник с целой точкой пересечения медиан). Следовательно, в двух из этих групп находятся по две точки, а в третьей группе - одна точка. Без ограничения общности можно считать, что эта одна точка имеет тип $(0; 0)$. Тогда среди наших 5 точек нет точек типа $(0; 1)$ и $(0; 2)$. Кроме того, среди них одновременно не может быть двух точек типа $(1; 1)$ и $(2; 2)$ (иначе они вместе с точкой типа $(0; 0)$ образовали бы треугольник, в котором медианы пересекаются в целой точке). По той же причине среди них не может быть одновременно двух точек типа $(1; 2)$ и $(2; 1)$, а также двух точек типа $(1; 0)$ и $(2; 0)$. Отсюда получаем, что всего у нас не более четырех выбранных точек. Противоречие.
б) Каждой целочисленной точке $(x; y; z)$ поставим в соответствие числа $g(x), g(y), g(z)$ - остатки от деления на 3 чисел $x, y, z$ соответственно. Так как величина $g(x)$ принимает не более 3 значений, то по крайней мере 13 из рассматриваемых 37 точек имеют одинаковые значения $g(x)$ (иначе всего точек не больше $12 \cdot 3 = 36$). Аналогично, не менее 5 из этих 13 точек имеют одинаковые значения $g(y)$. Точка пересечения медиан треугольника с вершинами $(x_{1}; y_{1}; z_{1}), (x_{2}; y_{2}; z_{2}), (x_{3}; y_{2}; z_{3})$ имеет координаты
$x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}, z_{0} = \frac{z_{1} + z_{2} + z_{3}}{3}$.
При этом, если $g(x_{1}) = g (x_{2}) = g (x_{3})$ и $ g(y_{1}) = g(y_{2}) = g(y_{3})$, то числа $x_{0}$ и $y_{0}$ целые, а число $z_{0}$ является целым тогда и только тогда, когда $z_{1} + z_{2} + z_{3} \equiv 0 (\mod 3)$. В нашем случае отобраны 5 точек, для которых равны все числа $g(x)$ и равны все числа $g(y)$. Если среди этих точек найдутся три, для которых числа $g(z)$ принимают значения 0, 1, 2, то для этих точек
$z_{1} + z_{2} + z_{3} \equiv g(z_{1}) + g(z_{2}) + g(z_{3}) \equiv 0 + 1 +2 \equiv 0 (\mod 3)$.
Если же таких точек нет, то числа $g(z)$ для отобранных 5 точек принимают не более 2 значений, поэтому найдутся 3 точки, в которых величина $g(z)$ принимает одно и то же значение, и соответствующее им число $z_{0}$ является целым.