2014-06-08
По кругу написаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Над ними производится следующая операция: между одинаковыми цифрами пишется нуль, а между разными - единица, после чего первоначальные цифры стираются. Затем такая же операция производится над полученными цифрами и т. д. Доказать, что после нескольких таких операций невозможно получить 9 нулей.
Решение:
Допустим, что после нескольких указанных в задаче операций получился набор из одних нулей. Пусть это в первый раз произошло после k-й операции. Тогда после (k -1) - й операции все цифры на окружности были одинаковые и не равные нулю, а следовательно, равные единице. Значит, после (k - 2)-й операции любые две соседние цифры на окружности были различными. Поэтому нулей было столько же, сколько и единиц, а общее количество цифр было четным, что противоречит условию.