2014-06-07
Решить уравнение
$x(x+1)(x + 7)(x+8) =y^{2}$
в целых числах.
Решение:
Пусть числа $x,y \in \mathbf{Z}$ удовлетворяют уравнению, тогда
$y^{2}=(x(x+8))((x+1)(x+7))=(x^{2}+8x)(x^{2}+8x+7)=z^{2}+7z$,
где обозначено $z = x^{2}+8x$. Если $z > 9$, то
$(z+3)^{2}=z^{2}+6z+9 < z^{2}+7z = y^{2} < z^{2}+8z+16 =(z+4)^{2}$,
а значит, число $y^{2}$ заключено между квадратами двух последовательных натуральных чисел, что невозможно. Поэтому $x^{2}+8x=z \leq 9$, откуда $-9 \leq x \leq 1$. Перебирая последовательно значения
$x=-9, -8, \cdots , 1 $,
находим, что число $x(x +1) (x + 7) (x+8)$ является квадратом целого числа только при $x$, равном $-9, -8, -7, -4, -1, 0$ и 1. Таким образом, получаем все решения исходного уравнения: (-9; 12), (9; -12), (-8; 0); (-7; 0), (-4; 12), (-4; -12). (-1;0), (0; 0), (1; 12), (1: -12).