2014-06-07
Доказать, что для любых значений $a,b,c,d \in \mathbf{Z}, a \neq b$, уравнение
$(x+ay+c)(x+by+d)=2$
в целых числах имеет не более четырех решений. Определить, при каких значениях $a ,b , c, d$ имеется ровно четыре различных решения.
Решение:
Поскольку $x, y, a, b, c, d \in \mathbf{Z}$, то уравнение
$(x+ay+c)(x+by+d)=2$
равносильно совокупности всех систем вила
$
\begin{cases}
x+ ay +c =p,&\text{}\\
x+by+d=q,&\text{}
\end{cases}
$
где числя $p, q \in \mathbf{Z}$ удовлетворяют равенству $pq=2$. Каждая из таких систем не может иметь более одного решения, так как значения неизвестных определяются из системы однозначно (напомним, что по условию $a \neq b$):
$
\begin{cases}
y=(p-q+d-c)/(a-b),&\text{}\\
x=p-c-ay.&\text{}
\end{cases}
$
Заметим, что различных целочисленных nap $(p; q)$ имеется всего четыре: (1; 2), (-1;-2), (2; 1), (-2; -1), причем разным парам чисел $p, q$ соответствуют разные пары неизвестных $x, y$. Таким образом, исходное уравнение не может иметь более четырех решений, причем количество этих решений равно четырем в том и только в том случае, если каждое из чисел видя $(p - q + d - c)/(a - b)$ является целым, т.е. если $(\pm 1 + d - c)/(a-b) \in \mathbf{Z}$. Для этого необходимо, чтобы разность
$\frac{1+d-c}{a-b} - \frac{-1+d-c}{a-b} = \frac{2}{a-b}$
была целым числом, т.е. $2 \vdots (a-b)$. Если $a – b = \pm 1$, то $(\pm 1 + d -c)/(a-b) \in \mathbf{Z}$. Если же $a-b= \pm 2$, то числа $(\pm 1 + d - c)/(a-b)$ является целыми тогда и только тогда, когда число $d-c$ нечетно. Итак, уравнение имеет ровно четыре решения в следующих случаях: либо $|a - b| =1$, либо $|a-b|=2$ и $c-d=2k+1$, где $k \in \mathbf{Z}$.