2014-06-07
Решить уравнение $2^{x}+1 = y^{2}$ в натуральных числах.
Решение:
Перепишем уравнение в виде
$2^{x}=(y-1)(y+1)$,
тогда для искомых значений $x, y \in \mathbf{N}$ имеем, что числа $y-1,y+1 \in \mathbf{Z}^{+}$ являются делителями числа $2^{x}$, т.е. $y-1=2^{p}$ и $y+1=2^{q}$, где $p,q \in \mathbf{Z}^{+}, p < q$. Поэтому
$2^{q}+2^{p}=(y+1)-(y-1) = 2$, т.е. $2^{p}(2^{q-p}-1)=2$.
Заметим, что $q-p \leq 1$ (иначе нечетное число $2^{q-p}-1 > 1$ было бы делителем числя 2), поэтому $q=p+1$ и $2^{p}(2 -1) = 2$, т.е. $p=1,q=2$. Наконец, проверка показывает, что единственно возможное значение $y=3$ удовлетворяет уравнению только при $x = 3$.