Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3873
2019-06-23 
$A$, $B$ и $C$ сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для $A$ вероятность попасть в цель равна 0,3, для $С$ - 0,5, а $B$ стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет $A$, затем $B$, дальше $C$ и т. д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия $A$?
Решение:
У дуэлянта $A$ мало оснований для оптимизма по поводу настоящей дуэли. Если он стреляет первым, то при попадании в $C$ наверняка $B$ попадет в него, поэтому $A$ не должен стрелять в $C$. Если же $A$ выстрелит в $B$ и промахнется, то $B$, наверное, выведет из строя более опасного $C$ первым и $A$ сможет стрелять в $B$ с вероятностью попадания 0,3. Если же $A$ промахнется, то его песенка спета. С другой стороны, предположим, что $A$ попадет в $B$. Тогда $C$ к $A$ будут перестреливаться до первого попадания. Шансы выигрыша $A$ равны
$(0,5) \cdot (0,3) + (0,5)^2 \cdot (0,7) \cdot (0,3) + (0,5)^3 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3) + \cdots$.
Каждое слагаемое отвечает последовательности промахов $C$ и $A$, заканчивающихся успехом $A$. Суммируя геометрический ряд, получаем
$0,5 \cdot 0,3 (1 + 0,5 \cdot 0,7 + (0,5 \cdot 0,7)^2 + \cdots) = \frac {0,5 \cdot 0,3} {1 - 0,5 \cdot 0,7} = \frac{0,15}{0,65} = \frac{3}{13} < \frac{3}{10}$.
Таким образом, попасть в $B$ и затем покончить с $C$ - стратегия, дающая для $A$ меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела. Поэтому $A$ должен стрелять в воздух, а затем стараться попасть в $B$.
Обсуждая эту задачу с Т. Лерером, я спросил его, благородно ли это решение с точки зрения кодекса о дуэлях. Лерер возразил, что подобный кодекс для дуэлей с тремя участниками не разработан, так что мы с полным основанием можем простить $A$ преднамеренный промах.
$A$, $B$ и $C$ сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для $A$ вероятность попасть в цель равна 0,3, для $С$ - 0,5, а $B$ стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет $A$, затем $B$, дальше $C$ и т. д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия $A$?
Решение:
У дуэлянта $A$ мало оснований для оптимизма по поводу настоящей дуэли. Если он стреляет первым, то при попадании в $C$ наверняка $B$ попадет в него, поэтому $A$ не должен стрелять в $C$. Если же $A$ выстрелит в $B$ и промахнется, то $B$, наверное, выведет из строя более опасного $C$ первым и $A$ сможет стрелять в $B$ с вероятностью попадания 0,3. Если же $A$ промахнется, то его песенка спета. С другой стороны, предположим, что $A$ попадет в $B$. Тогда $C$ к $A$ будут перестреливаться до первого попадания. Шансы выигрыша $A$ равны
$(0,5) \cdot (0,3) + (0,5)^2 \cdot (0,7) \cdot (0,3) + (0,5)^3 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3) + \cdots$.
Каждое слагаемое отвечает последовательности промахов $C$ и $A$, заканчивающихся успехом $A$. Суммируя геометрический ряд, получаем
$0,5 \cdot 0,3 (1 + 0,5 \cdot 0,7 + (0,5 \cdot 0,7)^2 + \cdots) = \frac {0,5 \cdot 0,3} {1 - 0,5 \cdot 0,7} = \frac{0,15}{0,65} = \frac{3}{13} < \frac{3}{10}$.
Таким образом, попасть в $B$ и затем покончить с $C$ - стратегия, дающая для $A$ меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела. Поэтому $A$ должен стрелять в воздух, а затем стараться попасть в $B$.
Обсуждая эту задачу с Т. Лерером, я спросил его, благородно ли это решение с точки зрения кодекса о дуэлях. Лерер возразил, что подобный кодекс для дуэлей с тремя участниками не разработан, так что мы с полным основанием можем простить $A$ преднамеренный промах.
