2014-06-07
Пусть $f: [0; + \infty) \rightarrow [0; + \infty)$ - непрерывная функция. Доказать, что
а) если $lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty$, то $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty$;
б) результат пункта а) не верен для функции $f: (0; + \infty) \rightarrow (0; + \infty)$.
Решение:
а) Пусть $f: [0; + \infty) \rightarrow [0; + \infty)$ - непрерывная функция н
$lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty$.
Предположим, что утверждение неверно. Тогда существует такое значение $N > 0$, что для любого $n \in \mathbf{N}$ найдется число $x_{n} > n$, удовлетворяющее условию $f(x_{n}) \in [0; N]$. Так как функция $f(x)$ непрерывна, а значит, ее значения на отрезке $[0; N]$ ограничены, то найдется такое значение $M$, что если $f(x) \leq N$, то $f(f(x)) \leq M$. Поэтому для каждого $n \in \mathbf{N}$ существует число $x_{n} > n$, для которого $(f(x_{n})) \leq M$, что противоречит условию
$lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty$.
3начит
$lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty$.
б) Пусть $f(x) \equiv 1/x$, тогда $f: (0; + \infty) \rightarrow (0; + \infty)$,
$f(f(x)) \equiv x, lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty, lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$.