2014-06-07
Числа 1, 9, 8, 1 являются соответственно четырьмя первыми членами последовательности, в которой каждый из последующих членов равен последней цифре суммы четырех предшествующих ему членов. Могут ли в этой последовательности встретиться числа 1, 2, 3, 4 идущими подряд?
Решение:
Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$ - указанная в задаче последовательность. Рассмотрим функцию, определенную на множестве целых чисел:
$f(x) = \begin{cases} 0,& \text{если}\: x \: \text{четно}\\
1,& \text{если}\: x \: \text{нечетно},
\end{cases}$
и зададим последовательность $\{ b_{n} \}$ формулами $b_{n} = f (a_{n}), n \in \mathbf{N}$. Тогда дли любого $n \in \mathbf{N}$ справедливы соотношения
$b_{n+4} = f(a_{n+4}) = f(a_{n} + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}) =$
$= f (f(a_{n}) + f(a_{n+1}) + f(a_{n+2}) + f(a_{n+2}) = f(b_{n} + b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3})$,
нескольку число $a_{n+4}$ является четным в том и только в том случае, если четна сумма $a_{n} + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{3}$. Первые 9 членов последовательности $\{ b_{n} \}$ равны соответственно $1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1$. Поэтому $b_{0} = b_{1}, b_{7} = b_{2}, b_{8}=b_{3}, b_{9} = b_{4}$ и, вообще, $b_{n+5} = b_{n}$, а значит, в этой последовательности нули стоят только на местах с номерами вида $n = 3 + 5k (k \in \mathbf{Z}^{+})$. Таким образом, в последовательности $\{ a_{n} \}$ разность номеров любых двух четных членов делится на 5. Следовательно, четверка чисел $1, 2, 3, 4$ встретиться не может.