2014-06-07
В последовательности положительных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$ каждый из членов $a_{n} (n \in \mathbf{N})$ равен либо $a_{n-1}/2$, либо $\sqrt{a_{n-1}}$. Может ли эта последовательность иметь предел, принадлежащий интервалу $(0; 1)$?
Решение:
Пусть $A \in (0; 1)$ и $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = A$. Тогда найдется такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n \geq N$ имеют место оценки $2A/3 < a_{n} < 4A/3$. Если для любого $n > N$ выполнено равенство $a_{n} = \sqrt{a_{n-1}}$, то, переходя в нем к пределу при $n \rightarrow \infty$, получаем
$A = lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n-1}} = \sqrt{lim_{n \rightarrow \infty} a_{n-1}} = \sqrt{A}$
Следовательно, $A \in \{ 0; 1 \}$, что противоречит условию $A \in (0; 1)$. Если же для некоторого номера $n > N$ равенство $a_{n} = \sqrt{a_{n-1}}$ не выполнено, то $a_{n} = a_{n-1}/2 < (1/2) \cdot 4A/3 = 2A/3$, т. е. $a_{n} < 2A/3$, что противоречит выбору числа $N$. Поэтому у последовательности $\{ a_{n} \}$ не может быть предела, лежащего в интервале $(0; 1)$.