2014-06-07
Пусть
$a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}, n \in \mathbf{N}$.
Найти $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$.
Решение:
Так как
$a^{2}_{n} = \frac{1^{2} \cdot 3^{2} \cdot \cdots \cdot (2n-1)^{2}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot \cdots \cdot (2n)^{2}} = \frac{1 \cdot 3}{2^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^{2}} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^{2}} \cdot \frac{1}{2n+1} < \frac{1}{2n+1}$
при любом $n \in \mathbf{N}$, то
$0 < a_{n} < 1/ \sqrt{2n+1}$ и $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$.