2014-06-07
Доказать, что существуют числа А и В, удовлетворяющие при любом значении $n \in \mathbf{N}$ равенству
$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = A tg \: n + Bn$,
где обозначено
$a_{k} = tg \: k \: tg \: (k-1)$.
Решение:
Пользуясь формулой
$tg \: 1 = \frac{tg \: k – tg \: (k-1)}{1 + tg \: k \: tg \: (k-1)}$
(заметим, что ввиду иррациональности числа $\pi$ выражение $tg \: k$ определено при всех $k \in \mathbf{N}$), получаем при любом $n \in \mathbf{N}$ равенства
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \sum_{k=1}^{n} tg \: k \: tg \: (k-1) = \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{tg \: k – tg \: (k-1)}{tg \: 1} - 1 \right ) = \sum_{k=1}^{n} \frac{tg \: k}{tg \: 1} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{tg \: k}{tg \: 1} – n = \frac{tg \: n}{tg \: 1} - n$.
Таким образом, числа $A = 1/tg \: 1, B = -1$ удовлетворяют требованиям задачи.